⑦命题的结论涉及的对象无限。
后两种情形在代数、三角等学科中用得多，几何中极少出现。
以下举例说明怎样用反证法证题。
例1：在平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥b，c∥b
求证：a∥c
证明：如图4-12，假设直线a，c不平行，即相交，设交点为P，则在同一平面内，由a∥b，c∥b得到过P点有两条直线a和c都与直线b平行，这与平行公理“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾，这说明前面假设的直线a，c相交是错误的，即a，c不平行是错误的，因此，直线a∥c.
例2求证：一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个≥60°.
证明：如图4-13，假设∠A，∠B，∠C都不大于或等于60°，即都小于60°
即∠A＜60°
∠B＜60°
∠C＜60°
三式相加，得
∠A＋∠B＋∠C＜180°。
这与定理“三角形的三内角之和等于180°”相矛盾，所以，三角形的三个角都不大于或等于60°的假设是错误的，故一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.
7.解题方法(七)：辅助元素法
通过添设某种辅助元素(辅助线、辅助图形、辅助变量、辅助多项式、辅助方程、辅助函数、辅助不等式等)，使数学题得以简化或易于求解的方法，通常称为辅助线元素法。
这里，从初中数学的实际出发，重点讨论平面几何中添设辅助的若干方法。
添设辅助线的基本思想，在于通过添设辅助线，或是把有关的几何元素相对地集中起来，便于运用图形的性质；或是造就一个新图形，把已知和未知联系起来，使思路畅通；或是发掘题目中的隐含条件，为进一步解答创造条件。
循着上述基本思想，添设辅助线的常见途径有：连结两已知点或特殊点；延长某已知线段；过已知点作某直线的平行线；过已知点引某直线的垂线；过已知点引圆的切线；添设满足结论要求的线段；等等。
例1四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，设AC与BD相交于O，EF交BD于M，交AC于N.求证：
OM＝ON
分析：结论中的OM和ON是△OMN的两条边，与已知条件没有直接联系。考虑到题中涉及线段的中点，不妨添设△ABD和△ACD的中位线一试。
证明取AD的中点P，连结PE，PF(如图4-14示)，在△ABD和△ACD中，由中位线定理，得
PE∥12DB，PF∥12AC①
∴∠OMN＝∠PEF②
∠ONM＝∠PFE③
依题设，AC＝BD，所以由①式即得
PE＝PF
∴∠PEF＝∠PFE④
比较②，③，④式，有
∠OMN＝∠ONM
∴OM＝ON
例2AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线相交于D，和⊙O相交于E.如果AC平分∠DAB；
(1)求证：∠ADC＝90°；
(2)若AB＝2r，AD＝85r，求DE.
分析：(1)联想切线的性质定理，可添设⊙O的半径OC，证AD∥OC.(2)联想切割线定理，要求DE，只需求CD；在Rt△ACD中，又只需求AC；观察AB、AD和AC在图中的位置，可连结BC，利用△ABC∽△ACD进行推求。
解(1)依题设，CD是⊙O的切线，连结OC(如图4-15)，则
OC⊥CD
∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC
∵∠OAC＝∠CAD
∴∠OCA＝∠CAD
∴AD∥OC∴AD⊥CD
∴∠ADC＝90°
(2)连结BC，则∠ACB＝90°.在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC＝∠CAD，所以△ABC∽△ACD，有ABAC＝ACAD
∴AC2＝AB·AD＝2r·85r＝165r2
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2－AD2＝165r2－6425r2＝1625r2
从而，由切割线定理，得
CD2＝DE·AD
∴DE＝CD2AD＝1625r28〖〗5r＝25r
上面两个例子，通过连结两已知点或特殊点，把已知与未知联系起来，使原题得以解出。由此可以看出，同一个题目常常可以从不同的角度，添设不同的辅助线。为此，解题时应通过多方面的分析和比较，谋取简便的解题思路。
连结两已知点或特殊点，是添设辅助线的一种基本方法，应用十分广泛，常用的有以下途径：
(1)已知三角形两边的中点，常添设中位线，以便利用中位线定理产生新的等角，并使原三角形的第三边作减半平移。
(2)已知梯形两腰的中点，常添设中位线，以造成长为两底和一半的新线段或新的等角。
(3)已知直角三角形斜边的中点，常添设斜边上的中线，以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，把有关线段或角联系起来。
(4)遇有已知直径的图形，常把圆上某点同直径两端连结起来，以利用直径上的圆周角是直角的性质。
(5)对于两圆相交问题，常连结连心线或公共弦，以便利用连心线垂直平分公共弦及弦所对的弧的性质，并把圆周角、圆内接四边形的外角和内对角等联系起来。
(6)遇有切线问题，常把切点(或切线上某已知点)与圆心连结起来，以造成直角或利用切线长定理、切割线定理等。
对于以上各种情形，如果图形中只有一个已知点，则可按上述思想在图形中取定所需的点。
六、数学选择题的几种解法
选择题由题干和选择支两部分构成。一般情况下，题干是题目的条件，选择支是备选的结论，也就是备选答案。数学选择题一般都规定“在本题的四个备选答案中，只有一个是正确的”，这类选择题叫做四选一的单项选择题。
解答选择题和解答其他数学题目一样，要注意认真审题，弄懂题意，探求解题思路，给出题解，检验题解是否正确。由于选择题有自己的特点，根据它的特点，在解题方法上有它特殊的地方。
首先选择题给出几个备选答案，其中既有正确答案，又有错误答案，这就使题目既具有暗示性，又具有迷惑性，只需从四个答案中选择出正确的那个就可以了。
其次，作为单项选择题，所设的备选答案只有一个是正确的，因此可以这样考虑，如果能确定某个备选答案是正确的，那么其他的备选答案一定都是错的。从另外一个角度考虑，如果能确定某些备选答案是错的，直到只剩下一个备选答案(即使对它的正确性一无所知)，那么这个答案一定是正确的。
由这些特点出发，解选择题经常用以下几种方法：
1.解法(一)：直接法
直接法就是从题目所给的条件出发，通过分析、推理、计算，得出结论，从而确定哪个备选答案是正确的。直接法是解选择题的基本的方法，也是最常用的方法。
例1当m<0时，m2m的值为().
(A)-1(B)1
(C)-m(D)m
分析：由于m<0，所以m2＝-m，那么m2m＝-mm＝-1.故应选(A)。
例2如果1是关于x的方程x２＋2kx-3k2=0的根，那么k的值是().
(A)0(B)-1或13
(C)1或-13(D)1或-1
分析：由于1是方程x2+2kx-3k２＝0的根，所以1满足这个方程，把1代入，得1+2k-3k2＝0.解这个关于k的方程，得k=1或k=-13.故应选(C).
小结：由上面的例子可以看出，利用直接法解选择题和解一般的求解题有许多相近的地方，好像解完题后在备选答案中对答案。
这里有一点要提醒注意，利用直接法解选择题，解得的结果不在备选答案中，当然可以判断解题过程一定是错的。如果解得的结果在备选答案中，是正确还是错误，还应进行认真核对。因此，解选择题的解题过程也要特别注意正确性。
2.解法二：筛选法
由于单项选择题的备选答案只有一个是正确的，所以可以通过确定三个备选答案是错误的，从而确定剩下的一个备选答案是正确的方法来解题。这种解选择题的方法叫做筛选法。
例1：关于x的方程x2-ax-a2=a2的解是().
(A)-a，2a(B)-a，-2a
(C)a，2a(D)a，-2a
分析：将x＝a代入原方程，得左＝-a2≠右，故可排除(C)、(D)；在(A)和(B)中必只有一个是正确的，所以不必再代入-a，而可将-2a代入原方程，同理左＝5a2≠右，从而又排除了(B)，故应选(A).
说明：本题用直接法也不困难，x2-ax-2a2=0，即(x-2a)(x+a)=0，所以，x=2a，x=-a，故选(A).所以解答选择题并没有固定的方法，要因题而异，选择较优的方法。
例2：二次函数ｙ＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么结论()正确的.
(A)a＞0，bc＞0
(B)a＜0，bc＞0
(C)a＞0，bc＜0
(D)a＜0，bc＜0
分析：由于ｙ＝ax2+bx+c的图象开口向下，所以a＜0，可以排除备选答案(A)、(C)。由于ｙ＝ax2+bx+c的图象与ｙ轴交于正半轴，所以c＞0。而对称轴x＝-b2a＜0，b＜0。b、c异号，可排除备选答案(B)故应选(D).
3.解法(三)：验证法
单项选择题的备选答案只有一个是正确的，如果能将备选答案逐一代入题目中去验证，从而确定答案，这种解选择题的方法叫做验证法。
例1方程5x-1＝2-x-1的根是().
(A)4(B)3(C)2(D)1
分析：本题可以利用直接法来解，但运算量较大。由于题目中的备选答案给出了具体数值，可以将它们逐一代入，确定正确的答案。x＝4，x＝3，x＝2均不能使方程成立，而x＝1时方程成立。故应选(D).
例2已知ｙ=(m-1)xm2-m-1是反比例函数，则m的值为().
(A)1(B)0(C)-1(D)2
分析：本题可以根据反比例函数的概念，采用直接法来解。如果采用验证法，则更为简单。
把m＝1代入到函数的解析式中，得ｙ＝0·x-1，显然不符合反比例函数的定义。
把m＝0代入到函数解析式中，得ｙ＝-x-1，它符合反比例函数的定义，故应选择(B).
为了保险起见，可用m＝-1，m＝2再验证一下，均不是反比例函数。
4.解法(四)：特殊值法
特殊值法是依据命题在一般情况成立，那么在其特殊情况下也肯定成立的原理，在题目给出的条件的范围内，用特殊值代替字母，进行分析、运算、推理，去伪存真，选择正确的结论。
例1一元二次方程x2+px+q=0，当
p＞0，且q＜0
时，方程的().
(A)两根都是正数
(B)两根都是负数
(C)两根异号，且正根的绝对值大
(D)两根异号，且负根的绝对值大
分析：因为p＞0，q＜0，所以可设p＝1，q＝-2，于是可得x2+x-2＝0.解得两根为x1＝1，x2＝-2，显然应选(D).
例2一次函数ｙ＝kx+b的图象经过点(m，1)和(-1，m)，其中m＞1，则k、b应满足的条件是()。
(A)k＞0且b＞0
(B)k＜0且b＞0
(C)k＞0且b＜0
(D)k＜0且b＜0
分析：运用特殊值法，因为m＞1，所以可设m=2，于是可得P(2，1)，Q(-1，2)，如图4-17，一次函数的图象过第一、二、四象限，即k＜0且b＞0，故选择(B).
说明：本题还采用了数形结合的方法，由数到形，再由形到数，解法简捷。
七、用数学思想巧解综合题