2.用分析综合法探求解题思路
解答综合题首先要认真审题，明确数学语言的含义，分清题设与结论，挖掘隐含条件的意义与题设条件之间的联系，但最关键的是沟通已知条件与未知结论之间的内在联系，获得正确的解题途径，这时分析综合法是行之有效的思维方法。
分析法是指从问题的结论出发，探求结论成立所需要的条件的思维方法，可以用“执果索因”来概括，综合法是指从问题的题设出发，通过一系列已经确定的命题，逐步推演，导出结论的思维方法，常用“由因导果”来概括，把这两种方法融合起来，遵循“分析—综合—再分析—再综合”的思路，不断地从结论想需知，由已知想可知，不断地发展条件，转化结论，探求思路，经过若干次反复就能找到解题的关键，这是解综合题探求解题思路的最基本的方法。
例1
已知：m、n均为整数，并且方程(1)：x2-mx-n+3=0有两个不相等的实数根；方程(2)：x2+(m-6)x-n+7=0有两个相等的实数根；方程(3)：x2-(m-4)x-n+5=0无实数根，求m、n的值。
分析：
分析综合法不一定都是无从结论出发分析，再从条件出发综合，有时先从条件出发，扩展条件，再转化结论，探索需知，本题由题设易从根的情况得到系数m、n的关系，但这个关系是一个二元二次“混合组”，即有一个等量关系，两个不等关系，为求m、n的值，仍需对这个关系组进行消元或降次，即由已知想可知的方法上需要一种变形的技巧，如果不掌握整体代入化简的技巧，即使知道需知，也无法由可知得到。
解：∵方程(1)有两个不相等的实根，
∴△1＝(-m)2-4(3-n)>0
∵方程(2)有两个相等实根
∴△2＝(m-6)2-4(7-n)＝0
∵方程(3)无实数根
∴△3＝［-(m-4)］2-4(5-n)<0
即
m2+4n-12>0，
m2-12m+4n+8=0
m2-8m+4n-4<0？①
②
③
把①、②、③变形为：
m2+4n>12
m2-12m+4n+8＝0，
m2+4n<8m+4①′
②′
③′
把②′代入①′，③′得：
12m-8>12④
12m-8<8m+4⑤
解这个关于m的一元一次不等式组，得
53<m<3
∵m为整数
∴m=2
把m=2代入②得n=3
∴m=2，n=3
分析：由条件可知AB、O1C为⊙O1和⊙O2的直径，联想直径上的圆周角是直角，则连结BD，∠ADB是直角，又由条件EH⊥AE，可知BD∥EH，还可以想到若连结DH，则DH是⊙O2的直径，即DH过O2，于是图中易得△DBO2≌△HGO2，从而O2G＝O2B，再与O1O2＝32AO1联系起来，可推出AO1＝O1B＝2BO2＝BG＝GC，AC＝3AO1，AC＝4AO1
再从结论分析，由sin∠AGE＝AEAG，AG可以用AO1表示，若AE也用AO1表示，则可求sin∠AGE＝63，因为AE是⊙O2，的割线，则联想割线定理求AE.由于已分析出△DBO2≌△HGO2，则用DB代换GH，求GHGE＝DBEG＝ABAG＝23
五、常用的几种数学解题方法
1.解题方法(一)：分类法
有些数学题，在解题过程中，常常需要根据适当的标准，把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类进行求解，最终得出正确结论。这样的解题方法，通常称为分类法。
用分类法解题，要注意做好两方面的工作：一是不断增强分类意识，善于识别需要分类讨论的对象；二是能根据对象的具体特征，找出适当的分类标准，按照不重复、不遗漏的原则完成具体的分类。
例1解不等式(m+1)x<m2-1，并加以讨论，其中m为实参数。
分析：依一元一次不等式的解法，可以从x的系数入手，分成m+1>0、m+1=0、m+1<0三种情形进行求解。
解：分三种情形讨论：
(1)当m+1>0，即m>-1时，有解
x<m-1
(2)当m+1=0，即m=-1时，原不等式为0·x<-1，这是一个矛盾不等式，即此时原不等式无解。
(3)当m+1<0，即m<-1时，有解
x>m-1
综上讨论，当m>-1时，不等式的解为x<m-1；当m=-1时，不等式无解；当m<-1时，不等式的解为x>m-1
例2已知关于x的方程为
(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0，①
其中k≤3.求证：方程①总有实数根。
分析：方程①的二次项含有参数k，当k-2=0时为一次方程，当k-2≠0时为二次方程。因此，需分类进行证明。
证明：分两种情形来考察：
(1)当k-2=0，即k=2时，方程①为一元一次方程-2x+3=0，有实数根x=32
(2)当k-2≠0，即k≠2时，方程①为一元二次方程，它的判别式为
Δ=［-2(k-1)］2-4(k-2)(k+1)
=4(3-k)②
依题设，k≤3，即3-k≥0，于是由②式可知，Δ≥0.因此，这时方程有两个实数根。
综合①和②，原方程总有实数根。
2.解题方法(二)：换元法
在解题过程中，把某一式子看做一个新的变量，进行变量代换，得到结构简单的新问题；在新问题解出后，再根据所作的代换返回到原题，求得原问题的解。这种解题方法，通常称为换元法，又称变量代换法。
换元法是初中数学的一种重要方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式或不等式组的求解，函数的解析式、定义域或值域的推求等问题中，都有着广泛的应用。
利用换元法解题，具有极大的灵活性，关键在于根据问题的结构特征，选取能以简驭繁、化难为易的等量代换。就换元的具体形式而论，初中代数中常用的有整式代换、分式代换、根式代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技能技巧。
例1分解因式：(x2－x－3)(x2－x－5)－3
分析：本题如果把原式展开，化为x的四次多项式再分解因式，则数量关系比较复杂，不大容易成功。注意到x2－x在原式中出现两次，可作部分代换，令x2－x＝y，先把原式转化为y的二次三项式，再进行分解因式，如解法1.由于x2－x－3与x2－x－5只相差一个常数，也可以把其中的一个(如x2－x－3)设为y，然后进行分解因式，如解法2.为了减少计算量，还可取x2－x－3与x2－x－5的算术平均x2－x－4为标准量，先作标准量代换，再分解因式，如解法3.
解法1：令x2－x＝y，则
原式＝(y－3)(y－5)－3
＝y2－8y＋12＝(y－2)(y－6)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
解法2：令x2－x－3＝y，则x2－x－5＝y－2，有原式＝y(y－2)－3
＝y2－2y－3＝(y＋1)(y－3)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
解法3：令x2－x－4＝y，则x2－x－3＝y＋1，x2－x－5＝y－1，有
原式＝(y＋1)(y－1)－3
＝y2－4＝(y＋2)(y－2)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
此题表明，用换元法解题，所作的变量代换，常常有多种不同的方式，可以斟酌题设情形，灵活掌握。
例2已知x＞2，计算：
x＋2＋x2－4x＋2－x2－4＋x＋2－x2－4x＋2＋x2－4
分析：直接进行根式运算，计算量偏大。在x＞2的条件下，x2－4＝x＋2·x－2，如果设x＋2＝a，x－2＝b，则x＋2＝a2，x－2＝b2，由此便可简化根式运算。
解令x＋2＝a，x－2＝b，则
原式＝a2＋aba2－ab＋a2－aba2＋ab＝a＋ba－b＋a－ba＋b
＝(a＋b)2＋(a－b)2a2－b2＝2(a2＋b2)a2－b2
＝2(x＋2＋x－2)(x＋2)－(x－2)＝4x4＝x
从以上解题所知，换元法是一种很好的解题方法，它可以使运算简化，方便解题。
3.解题方法(三)：判别式法
实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)①
的判别式Δ＝b2－4ac具有以下性质：
Δ＞0方程①有两个不相等的实数根。
Δ＝0方程①有两个相等的实数根。
Δ＜0方程①没有实数根。
对于一元二次函数
γ＝ax2＋bx＋c②
它的判别式Δ＝b2－4ac具有以下性质：
Δ＞0抛物线②与x轴有两个不同交点。
Δ＝0抛物线②与x轴相切于一点。
Δ＜0抛物线②与x轴无公共点。
利用判别式Δ＝b2－4ac的上述性质进行解题的方法，叫做判别式法。我们试看下面的例子。
例1对任何有理数m，方程
x2－4mx＋4x＋3m2－2m＋4k＝0
的根都为有理数，求k的值。
解：原方程整理为
x2＋4(1－m)x＋(3m2－2m＋4k)＝0
由条件可知
Δ1＝4(m2－6m－4k＋4)为有理数的平方数，则有
Δ2＝(－6)2－4×1×(－4k＋4)＝0
解之，得k＝－54
例2求方程组x＋y＝2
xy－z2＝1的实数解。
解原方程组即x＋y＝2
xy＝1＋z2
我们构造以实数x、y为根的一元二次方程
u2－2u＋1＋z2＝0①
则Δ＝(－2)2－4(1＋z2)≥0
即z2≤0，从而z＝0
此时方程①为u2－2u＋1＝0
∴u1＝u2＝1
于是原方程组的解是x＝y＝1，z＝0
4.解题方法(四)：待定系数法
有些数学题，解题的结果具有某种确定的结构，这时可以先选取适合题意的结构形式，然后根据已知条件，求出结构中尚待确定的未知系数，从而得到原题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式(通常是多元方程组)，由此求得待定系数的值。
特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。
待定系数法的应用十分广泛，在初中数学中，主要用于处理多项式的恒等变形问题，如分解因式、解方程、确定函数的解析式等。
例1已知多项式x4－5x3＋11x2＋ax＋b能够被x2－2x＋1整除，求a，b的值。
分析：被除式的最高次项为x4，常数项为b；除式的最高次项为x2，常数项为1，所以商式必为二次多项式，且可设为x2＋mx＋b，于是
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)
由此，可用比较系数法或特殊值法确定a，b的值。
解法1：
设商式为x2＋mx＋b，则
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)①
将①式右边展开，得
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝x4＋(m－2)x3＋(1＋b－2m)x2＋(m－2b)x＋b②
由于②式是恒等式，因此两边对应项的系数相等。比较②式两边对应项的系数，得
m－2＝－5
1＋b－2m＝11
m－2b＝a
解方程组，得
a＝－11，b＝4
解法2：
由题设条件，可设
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)①
由于①式是恒等式，它对所有使式子有意义的x值都成立。令x＝1、2、－1，得
7＋a＋b＝0，
20＋2a＋b＝4＋2m＋b，
17－a＋b＝4(1－m＋b)
解方程组，得
a＝－11，b＝4
例2分解因式6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
分析：由于6x2＋xy－2y2＝(2x－y)(3x＋2y)，所以原式的两个因式，必定具有2x－y＋a和3x＋2y＋b的形式，于是，可用待定系数法分解因式。
解：设
6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
＝(2x－y＋a)(3x＋2y＋b)①
①式右边展开，并比较两边对应项的系数，得
3a＋2b＝1
2a－b＝10
ab＝－12②
③
④
由②、③联立，解得a＝3，b＝－4，代入④式也成立。所以
原式＝(2x－y＋3)(3x＋2y－4)
顺便指出，例2也可以按试验法的基本思想，用双十字相乘法求解，有
6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
＝(2x－y＋3)(3x＋2y－4)2x
3x×-y
2y×3
-4
从上面两个例子可以看出，在用待定系数法解题时，要注意题目的特点，选取恰当的结构形式，待定的系数越少，计算就越简便。
5.解题方法(五)：同一法
同一法是一种间接证明方法，多用于几何题证明。
如果一个命题的题设和结论都是惟一存在的，而且所指的概念是同一概念，同时这个命题的逆命题的题设和结论也都是惟一存在的，而且所指的概念是同一概念，这样的命题和它的逆命题是等价的，原命题和它的逆命题等价的命题称为符合同一原理。
当一个命题不易直接证明，而它又符合同一原理时，我们就可以转而证明它的等价的逆命题，只要这个逆命题正确，原命题也就成立，这种证明方法叫做同一法。
运用同一法证明的步骤是：
(1)要证明某图形具有某种性质，可以先作出具有这种性质的图形；
(2)由所作图形的性质，经过推理，推得与命题的题设相合；
(3)据此图形性质的惟一性，知所作图形与已知图形相合；
(4)断定已知图形具有某种性质。
这里需要注意的是：
①命题的题设和结论都惟一存在，不是指命题的条件和结论只包含惟一的事项，即个数只有一个，而是指图形具有惟一的一种性质、特征。我们看一个命题是否符合同一原理，一定要看这个命题的题设和结论是否惟一存在，所指的概念是否为同一概念，而不要被题设和结论中事物的个数所迷惑。
②一个命题的题设和结论惟一存在，它的逆命题的题设和结论不一定惟一存在。在有多个逆命题时，只选择一个与原命题等价的逆命题来求证即可。
例1已知：△ABC，过AB边上任意一点D作直线DE交AC于E，使AD〖〗DB＝AEEC，求证：DE∥BC。
分析：题设中的ADDB＝AEEC，结论DE∥BC都是惟一存在的，符合同一原理，可用同一法。
证明：如图4-10，过D作直线DE′‖BC交AC于E′
则ADDB＝AE′E′C
但已知ADDB＝AEEC
∴AEEC＝AE′E′C
由合比性质
AE＋ECEC＝AE′＋E′CE′C
即ACEC＝ACE′C
∴EC＝E′C
E和E′都在AC上，且都在C点的同侧，而线段上截定长的端点是惟一的，因此E与E′必重合为一点。
∴DE∥BC
图4-11
例2求证：等腰三角形底边的垂直平分线必过顶点。
已知：△ABC中，AB＝AC，BD＝DCDE⊥BC
求证：DE过顶点A
分析：线段BC的垂直平分线惟一存在，△ABC的顶点A也惟一存在，符合同一原理，可用同一法。
证明：如图4-11连结AD
∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB＝∠ADC
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴AD⊥BC
又BD＝DC
∴AD是BC的垂直平分线.
但已知DE是BC的垂直平分线，而BC的垂直平分线只能有一条，因此DE与DA必重合
∴DE必过A点。
6.解题方法(六)：反证法
反证法是一种间接证明方法。当有的命题采用直接证明不易证出或者比较繁难时，可改为证明原命题的反命题不成立(命题“若A则B”的反命题是“若A则非B”)或证明与原命题等价(或称等效)的逆否命题。
反证法是先提出与结论相反的假设，把此假设作为新的已知条件，然后推出与公理、定义、定理、题设、假设或推导自身相矛盾，这就证明了与原结论相反的结论不能成立，从而肯定了原结论必然成立。
反证法又分归谬法和穷举法两种：
当命题结论的反面只有一种情况时，只需推翻这种情况就能证明结论正确，叫做归谬法。
当命题结论的反面不止一种情况时，则需一一推翻，才能证明结论的正确，叫做穷举法。
用反证法证题的步骤如下：
(1)反设——假定结论的反面成立；
(2)矛盾——推理推出矛盾结果；
(3)结论——判断结论的反面错误，断定结论正确。
宜用反证法的类型：
①起始性命题。基本定理或某一系统的初始阶段已知条件较少，结论的反面多于已知条件，此时宜用反证法。
②否定型命题，结论中有“不是”、“不能”、“没有”、“不可约”等词语，其反而往往更具体，宜用反证法。
③惟一性命题。命题的结论以“至少”、“至多”、“惟一”等形式出现，宜用反证法。
④必然性问题。结论中有“必然”、“一定”、“必”、“总”等特征，宜用反证法。
⑤用直接证明方式较繁琐或有困难时，宜用反证法。
⑥命题的结论涉及无理数，因其反面是有理数，可以表示为pq(p与q互质)，这时宜用反证法。