预备运动：
俗话说“有志者事竟成”，克服任何困难，都离不开强大的意志力，意志力是我们内心的力量。坚强的意志不是突然产生的，而是逐渐积累的。而且锻炼意志力的同时，不可避免地会遇到许多挫折和失败，而这些艰难险阻才是对我们的意志力最严峻的挑战。
为了锻炼你的意志力，请接受下面题目中的挑战吧。
问题：
A图是从绳索吊床往下看的效果图，现在想要切断几根绳子分给上面和下面，那么至少要切断几根绳子呢？但不可以切断粗线绳子。
解答这个题目，除了需要敏锐的观察力之外，还需要有坚强的意志力。
先做全盘检查，这是最实际的做法，利用吊床右侧的出发点和终点，而吊床的网眼上也画上点。B图就是完成图。从出发点到终点尽可能通过最少的点。这样这个问题就迎刃而解了，如C图所示。
[问题41]正方形的个数
小学五年级的维德在纸上画了横竖五列，每列各五个点，把其中的四点连结起来，究竟能做几个正方形呢？由于这是老师画出的重点题目，所以不能马马虎虎。
在父亲的帮助下，小维德得到了答案。但是正方形的大小不同，还要计算倾斜的正方形，那么究竟有多少个正方形呢？
[解答41]
答案是50个。面对这样的问题，首先不能灰心。可以先求出没有倾斜的正方形，如右图，从大到小是1个﹑4个、9个﹑16个共30个正方形。然后是倾斜45度角的正方形，如中图那样能找出1个和9个，一共10个正方形。最后，左图所示的是其他角度倾斜的正方形，大的有2个，小的有8个共10个。这样合计为50个。
[问题42]用直线画三角
阿奇尔画了如图中所示的六条直线，结果做成了七个三角形，此外，阿奇尔在出现的四角形和五角形上作了×号。
阿奇尔想做出的图形只有三角形，没有四角形或五角形。那么画出的六条直线，怎么样才能只有七个三角形呢？阿奇尔觉得这不可能。你认为是这样吗？
[解答42]
思维一旦进入死角，限于定势之中，很多问题就得不到灵活解决。思考陷入迷阵，只会越陷越深。
要排除四角形或者五角形的存在，只要使三条以上的直线通过一点就可以了。如图中所示，六条直线中只要三条以上的直线通过一点，就可以做成七个三角形了。
[问题43]立方体的展开图
安格斯用厚纸板做立方体。虽然右图那样能剪裁出立方体，但是安格斯认为像左图那样的剪法也能做出立方体。究竟立方体的剪裁方法有多少种？安格斯觉得不能单凭想象，于是他找来了浆糊﹑纸板准备实际操作一番。
如果感兴趣的话，不妨和安格斯一起动动手吧。
[解答43]
把反面及旋转交叠起来的形式当作相同的方法计算的话，用六个同样大小的正方形以各种方式连结，有三十五种做法。其中的十一种可做成立方体，除了题目中给出的二种形式外，还有九个如图中所示的种类。
如果你不相信，可以自己做来看看。
[问题44]弦的长度
巴德利用圆规画圆的时候，偶然发现圆内的弦一种奇怪的特性。
把任意一个圆的周长分为八等份之后，连接两点来做圆的弦，如右图所示，并且所连接的四根弦的长度均不相等。
现在把圆的周长分为十等份，连结两点做成五条弦，能否同样做到使每条弦的长度不一样？
[解答44]
把圆的周长分为十等份之后，有两种方式可以连成五根弦，下图所示就是解题的方法。我们把问题扩展到十二等分或者是十四等分，那么难度就更高了，需要在稿纸上画出图形来解答。
[问题45]奇特的竞赛
奥布里参加了一项奇异的竞赛，在跑道上用十六面小旗子围成一圈，作出正方形的格子状。要求必须绕过所有的旗子跑一圈。不过比赛的奇异之处在于它的规则——转向的次数越少，分数越高。
例如，按照图中的方式跑，就会在转向八次之后，回到原来的地方。我们的问题是：如何只转向六次就可以回到原点？
[解答45]
因为比赛的规则是转向的次数越少，分数越高，所以没有时间和距离的限制。如果把旗子树立的地方当作转向处，六次转向之后当然也可以回到原点，但是有些旗子需要经过两次。如果比赛规定不能重复经过旗子，这种路线也是要排除的。
所以尽量让你的视野开阔一些吧。你可以跑远一点，到没有树立棋子的地方才转向，如图中所显示的路线，只不过要跑出更远的路程。
[问题46]奇特的竞赛
奥布里先生对于这种奇特的竞赛规则产生了浓厚的兴趣，他想到如果增加旗子的数量，是否会提高竞赛的难度呢？
他发现如果将旗子增加到三十六面，绕场一周的话，十次转向之后就可以重新回到原点。当然，每一面旗子也只经过一次，而且转向的方式和线路也不一样。
那么，经过十次转向就可以回到原点的路线应该怎样分配呢？问题似乎有些难以解决，但是请你不要灰心丧气，认真思考一下吧。
[解答46]
在经过三十六面旗子绕场一周的比赛中，想要转向十次就回到原位，需要仔细考虑。
如果我们能够想到最长的直线上可以容纳六面旗子的话，我们就找到了问题的突破口。这意味着在一次转向前，最多可以经过六面旗子。如此以来，倘若用两次转向经过十二面旗子，那么余下的二十四面旗子用八次转向的路线经过是很容易办到的事情了，因为只需经过三面旗子就可以转向了。
在此给出的线路图就是基于以上思路作出的。虽然看起来有些眼花缭乱，但已经是一种最佳的线路了。继续扩展一下思路吧，想一想如果只转向十八次，如何经过一百面旗子？
[问题47]填数游戏
艾利一个人在玩填数游戏。爸爸看他玩得很开心，就给他出了一道很奇特的问题。
爸爸给了艾利一张两色的表格，像图中所显示的那样，在这个5×5的方格内，按照题目要求在白色方格内填上1到13的不同数字：
①方格中的A行和D行、1列和4列不能出现两位数；
②数字9不能填在图表四角的方格内；
③数字6和数字2出现在一条直线上，并且6处在2的下方；
④E5方格内的数字比填在A3方格内的数字小1；
⑤数字1处于数字12的左下方，位于数字10的右上方；
⑥B4方格中的数字比D2方格中的数字大2；
⑦数字8和数字13同在一条直线上，并处于13的上方。
看到艾利冥思苦想的样子，爸爸提示到，首先可以从数字1的正确位置入手。经过一番思索，艾利终于将这13个数字按照要求填在了正确的方格内。那么你知道最终的答案么？ [解答47]
认真按照题目中给出的条件来找线索，解题并非是一件很困难的事情。
依据⑤给出的1和12、10之间的位置关系可知，1不会出现在1列和5列中；因为①中规定两位数不能填入1列和4列，所以根据1与12、10的位置关系，1也不会出现在2列和3列中，所以1只能在4列中；但不会在B4方格内，这缘于⑥的条件。综合以上分析，1应在D4方格内，进而确定12在C5，10在E3。
由⑦得知8处于13的上方，两者同在一条直线，所以根据①，两者都不会在1列、4列；因为13不能填入D2，所以2列也不能填；由④可知13不可能在E5，所以排除5列；如此一来，8一定在A3，13在C3，加上④的条件，7在E5。
依据①和以上的结果，11只能在2列，但不能在D2，因此在B2；因为②和⑥，9只能在C1。
剩下的问题就简单多了，自己填上吧。
[问题48]拉丁方格的奥秘
工程师鲍里斯经常做拉丁方格游戏，不但提高对事物的观察力，而且锻炼逻辑思维能力。这些看似简单的题目，其实隐藏着许多奥妙。
如图所示，按照右边的要求在表格中填入1～6中适当的数字，并且每一横行和纵行的数字只能出现一次。
例如DEF2=9的意思是D2﹑E2﹑F2上的数字的和是9。
A456=10 CDE6=14 AB2=5 D345=7
B123=14 E12=7 C123=7 EF4=10
CDE3=6 F123=8
[解答48]
这是一个比较有意思的题目，我们可以从中央处的D345=7入手，在1～6的数字中，相加等于7的组合是1﹑2﹑4。而CDE3=6，在1～6的数字中相加是6的组合只能是1﹑2﹑3。三个数相加等于10的组合能是1+3+6或者是1+4+5，又因为1+2+3+4+5+6=21并且CDE6=14，所以A6+B6+F6=7，因为三个数相加等于7的组合只能是1﹑2﹑4；三个数相加等于6的组合只能是1﹑2﹑3；三个数相加等于14的组合只能是3﹑5﹑6。注意这些特殊组合就能够解答此题。
[问题49]约数与被约数的秘密
亚尔林在做一道数学题的时候需要分解因数，他发现一则有趣的现象：6可以有1﹑2、3这三个约数，而这三个数加起来等于6；28的约数有1﹑2﹑4﹑7和14，这五个数加起来也恰好等于28。
把一些因数分解出的所有约数相加，可以得出原来的因数。亚尔林用其他的数做分解，发现三位数里也存在符合这则规律的一个数，那么，你知道亚尔林算出的这个数是哪一个吗？
6的约数=1，2，3
如果相加→1+2+3=6
28的约数=1，2，4，7，14
如果相加→1+2+4+7+14=28
[解答49]
如果将某一因数分解出的所有约数（除因数本身外）相加，可以得出因数的值，那么这一因数就叫做完全数。当完全数被分解为两个数的乘积时，我们会发现：6可以被分解为2和3，而3=2×2-1；而28可以分解为4和7，而7=4×2-1。也就是说，大的约数等于小的约数的两倍减去1。
对8﹑16﹑32﹑64等数做两个约数的分解，就可得出相同的结论。因而我们可以推导出，用8、16﹑32﹑64这些数分别乘以它们的两倍减1的数，采用排除法，就可以得出符合要求的完全数了。因而最后的结论是：三位数是496，四位数是8128。如果你有兴趣用同样的算法继续乘下去，你就会发现，数值小的约数是素数的话，它所乘的数就是一个完全数。
2×3=6
4×7=28
8×15=120（×）
16×31=496
32×63=2016（×）
64×127=8128
[问题50]花样扑克牌
艾富里在玩单人扑克牌游戏。玩着玩着，几张扑克摆成了如下图所显示的样子。看到牌上的数字，艾富里忽然想到一种有趣的摆法：在两个A之间放上一张牌，两个2之间放上两张牌，两个3之间加进三张牌。
艾富里的游戏首先用到了A～4的扑克牌，每个数字各有两张，加起来一共是八张扑克牌，一字排开，横排摆放在桌上。但要做到相同数字之间放上与数值相等的牌的张数，即两张A之间有一张牌，两张2之间有二张牌，两张3之间有三张牌，两张4之间有四张牌。艾富里想到以此类推，如果用插入的方式增加排列，应该用什么样的方法呢？
[解答50]
如图所示，八张扑克牌一字排开，两张A之间夹着一张3，两张2之间夹着4和3，两张3之间则是A、2、4，因而两个4之间就是A、3、A、2这四张，并不是很复杂。
先将两张4摆出，因为其中要夹四张牌，如果在其间挨着4排2或3的话，两张4之间夹四张牌就不能满足2或3之间夹两张或三张牌的要求，所以两张4之间，挨着4排的只能是A。A的位置确定之后，问题就简单了。
只要记住游戏中所使用的牌上的最大数字是4的倍数，或者比它大1个数的时候，通常都是较为容易解决的排序问题。喜爱动脑的朋友们如果有兴致，不妨照着这一规则，玩玩增加到7和8之间的数字排序。
不过所用的排列方式称为左右交替法，好像也没有其他更好的排列方式了。
[问题51]数字的倒序