惠更斯在天文学方面的研究是相当出色的，卡西尼研究的土星的光环就是他最先发现的。伽利略在很早以前就发现过土星的一种“怪现象”——这颗星有一个十分奇怪的形状，并时时发生变化，有时是一个长形的椭圆、有时是一个标准的浑圆。但是，由于当时的观测仪器十分落后，伽利略始终没有弄清楚这是什么原因。从1655~1656年期间，惠更斯使用了更好、更精密的观测仪器，对土星进行了长时间的认真观测和研究，终于解开了土星的“怪现象”之谜。惠更斯通过长时间的观测得出了正确的结论：土星的星体被另外一个物体包围着，这个物体是土星星体的一个同心圆环。最初，惠更斯把他的发现写成了一句隐语，意思是，土星被一个薄薄的圆环所包围着，而且这个圆环并不和土星的星体相接触，只是与它的黄道斜交。这个隐语一直到1659年才最终解释并公布出来。这个圆环就是土星的光环。
惠更斯不仅第一个发现了土星的光环，还第一个发现了土星的卫星。为后来多米尼科·卡西尼的工作开辟了道路。
惠更斯的另外一项重大贡献是为经典力学的建立奠定了基础。
1656年，惠更斯利用钟摆的等时性原理制成了世界第一座摆钟。1673年，惠更斯从他的钟摆的原理出发，进行了更加深入的研究，出版了他的《摆钟》一书。在这本书中，他不仅详细记载了摆钟的发明，而且开始了他对离心力的研究。他最先提出了离心力与距离和速度的关系问题：
（1）同一物体如果以相同的速度在不同的圆周上运动，离心力与直径成反比，圆越小，离心力越大。
（2）同一物体如果以不同的速度在相同的圆周上运动，离心力与速度的平方成正比。
惠更斯关于摆的研究，为以后牛顿经典力学中万有引力定律的建立提供了重要的理论依据。
36.数理逻辑的奠基人莱布尼茨
C·W·莱布尼茨是17世纪伟大的科学家和哲学家，着名的二进制原理和微积分是他的杰作。
1646年，莱布尼茨出生在德国莱比锡的一个教授家庭。他自幼才华横溢，智力超群。15岁进大学，先修哲学，后攻法律。20岁时向莱比锡大学申请法律博士学位，因年龄太小而遭到大学的拒绝。
1675年，莱布尼茨开始从事微积分研究。微积分是他和牛顿不约而同、相互独立发明的。只是牛顿的研究稍显在前，而莱布尼茨的分析方法更为灵活方便。
莱布尼茨最为辉煌的业绩莫过于1679年发明的二元算术。二元算术是二进制计算机语言原理，它的问世使电脑产业如日中天，从而使20世纪信息工业迅猛发展，成为压倒一切的产业。
当谈到读书方法时，莱布尼茨认为应广泛结识经典作品，要熟知古希腊、古罗马的思想文化。他认为广泛的阅读古籍不仅增长了知识与阅历，还会对个人的良好成长产生重要的影响。他说：我们去阅读大量的古代典籍，当拉丁、希腊、希伯莱、以及阿拉伯人的古书有一天都研究了以后，还有中国人的……将会给我们的批判的勇气提供材料。其余的，甚至还有波斯人、亚美尼亚人、哥普特人以及婆罗门教的某些古书。莱布尼茨指出，那些附有插图的百科类书籍是值得大家去用心阅读的，据说中国就有这种书籍。
他激动地说：我看不出还有什么比古代留给我们的那些记述更有价值的东西了。令人称奇的是，莱布尼茨把书中最美好的佳句比作危机状态中的手枪子弹，读书人“比一个没有读书的人更有知识更加能干”。
37.力学之父依撒克·牛顿
依撒克·牛顿（1642～1727年）是有史以来最伟大的天才之一。在数学上，他发明了微积分，在天文学上，他发现了万有引力定律；在物理学中，他系统总结了三大运动定律；在光学中，他发现了太阳光的光谱，发明了反射式望远镜。一个人享有这里的任何一项成就，就足以名垂千古，而牛顿一个人作出了所有这些贡献。
牛顿生于1642年，是个遗腹子。年少时，他性情孤僻，上小学时，成绩也十分平常；12岁进中学，由于寄宿在一位药剂师家里而学会了做化学实验。
1661年，牛顿进入剑桥三一学院。他阅读了大量书籍，基本上掌握了当时的全部数学和光学知识。1665年初大学毕业，由于伦敦正闹瘟疫，他回到他母亲的农场里，度过了两年。这两年是牛顿创造发明最为旺盛的时期。他发明了二项式定理和微分运算，研究了颜色理论和积分运算，并继续思考动力学和引力问题。
1667年，牛顿回到剑桥。1669年，27岁的牛顿当上了剑桥大学的卢卡斯数学教授。1678年，因在光学问题上与胡克争论，牛顿深受刺激，性格内向的他不再发表文章，光学问题也被搁置一边，转而思考天文学问题。1679年，胡克主动与牛顿通信讨论引力问题，这也促使牛顿重新研究早年的课题。
1684年1月，胡克向当时的皇家学会主席雷恩和天文学家哈雷声称，自己已经发现了天体在与距离平方成反比的力作用下的轨道的运行规律，但他给不出数学证明。雷恩决定悬赏征解。哈雷8月份专程去剑桥，请教牛顿。牛顿于是在11月写出了《论运动》手稿。
向心力与半径的平方成反比，牛顿早就得出了这一结论。到了17世纪80年代，胡克、雷恩和哈雷也都独自发现了这一关系。
但他们都没能证明其逆命题在平方反比于距离的力的作用下，行星必作椭圆运动。只有牛顿给出了这一数学证明。
然而，即使确认了椭圆轨道与平方反比作用力之间的这种互推关系，也并不等于发现了万有引力。万有引力的关键在“万有”，它是一种普遍存在的力。首先，人们必须证明支配行星运动的那个力与地面物体的重力是同一种类型的力。牛顿最先想到这一点，着名的苹果落地的故事说的就是这段历史。
17世纪60年代就已萌发的思想，为何直到80年代才重提？事实上，牛顿面临的一个主要困难是，他不能肯定是否应该由地心开始计算月地距离，因为这牵涉到地球对月亮的引力是否正像它的全部质量都集中在中心点上那样。
1685年初，情况出现了转机，牛顿运用微积分证明了地球吸引外部物体时，恰像全部的质量集中在球心一样。在哈雷的鼓励下，牛顿全力投入写作一本着作。花了不到18个月的时间，科学史上最伟大的一部着作——《数学原理》，于1686年完成，并于1687年以拉丁文初版问世。
《数学原理》共分三篇。极为重要的导论部分，包括“定义和注释”、“运动的基本定理或定律”。定义分别是：“物质的量”、“运动的量”、“固有的力”、“外加的力”以及“向心力”，注释中给出了绝对时间、绝对空间、绝对运动和绝对静止的概念。在“运动的基本定理或定律”部分，牛顿给出了着名的运动三定律，以及力的合成和分解法则、运动迭加性原理、动量守恒原理、伽利略相对性原理等。这一部分是牛顿对前人工作的一种空前的系统化，也是牛顿力学的概念框架。
《数学原理》的出版立即使牛顿声名大振。它开辟了一个全新的宇宙体系。正是从这里，人们获得了用理性来解决面临的所有问题的自信。《数学原理》出版后，牛顿不再考虑力学问题。1689年，牛顿当选为国会议员。1690年，他开始研究《圣经》。1695年，他被任命为造币厂督办，1699年被任命为造币厂厂长。1701年，牛顿辞去教职。1703年，他当选为皇家学会主席，以后每年连任。1727年，牛顿去世。
“如果我比别人看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上。”“我不知道世人怎么看，但在我自己看来，我只不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为比别人找到一块更光滑、更美丽的卵石和贝壳而感到高兴，而在我面前的真理的海洋，却完全是个谜。”从牛顿的名言中，可以窥见他博大深邃的精神境界。
38.雅格布·伯努利的对数螺线
世界着名的大数学家欧拉与伯努利家族关系很好。伯努利家族在世界家族史上创了一项纪录：数学世家。
在数学与物理数学领域中，伯努利随处可见，比如说伯努利数列、伯努利-莱布尼茨诡论、伯努利方程。
数学史上，有一个历经2000多年才被解决的难题，此题形式简单：求自然数1，2，3，一直到几的任意次方（自然数次方）之和。写成公式就是求Sk1k+2k+3k+……+nk，K为自然数。
当K=1时，公元前6世纪的毕达哥拉斯学派求出了答案，即S1=1+2+3+……+n，可得S1=1/2（n+1）。后来，公元前200多年的阿基米德求出S2=2/6（n+1）（2n+1）。公元1世纪的尼扣马克求出了S3，但S4直到1000年后才由公元11世纪时的阿拉伯数学家解出。
对于任意自然数K，彻底解决了这个问题的是17世纪的雅格布·伯努利。
雅格布·伯努利1655年出生，是伯努利家族的后裔。这个家族近一半人天资聪明，他们几乎都是杰出的学者、教授、政治家和艺术家等等。这个家族在发展微积分理论上，起着突出的作用。他们为近代数学的发展做出了家族贡献。
伯努利家族祖居荷兰，他们信奉新教。因此受到天主教会的迫害。1583年，为了逃避天主教徒的大屠杀和残酷迫害，伯努利家族迁居到瑞士，在着名的巴塞尔城住下来。刚搬到巴塞尔，便与当地一位富商联上姻亲，始祖尼古拉·伯努利与富商的女儿结了婚，后来便成了统治整个巴塞尔缄商人贵族集团的重要成员之一。
雅格布·伯努利是迁至巴塞尔的家族第二代人。他的两个弟弟是尼古拉第一和约翰第一。他们三人在微积分上贡献非凡，享有盛誉。
17世纪末，雅格布·伯努利发展了莱布尼茨的微积分学，创立了变分法，提出并解决了部分等周问题和切线问题。
据不完全统计，伯努利家族祖孙四、五代12人中，至少有10名数学家。
雅格布·伯努利还提出中等数学中有名的题目，若一个等差数列前两项为正月，互不相同，而这两项与一个等比数列的前两项相同，则这个等差数列所有以后各项都小于相应的等比数列的各项。
雅格布·伯努利又叫雅格布第一。他自幼聪明勤奋，自学了笛卡尔的着作，后来结识了莱布尼茨、惠更斯等着名数学家。
伯努利家族的数学家从雅格布开始，大都担任巴塞尔大学的数学教授。
1686年，雅格布成为伯努利家族第一位巴塞尔大学教授。他详细彻底地研究了悬链线问题。
雅格布·伯努利证明，给定长度的绳子，如果两头悬挂它，悬链线的重心最低。现在的悬桥和高压输电线应用原理由此而来。
雅格布第一的墓志铭上镌刻着一反一正两条对数螺线，这是他晚年的发现。对数螺线无论是放大还是缩小，只要它的位置有所改变，其形状不会改变。所以碑文上被刻上了“尽管改变，我仍将要实现”的字样。
雅格布·伯努利的弟弟尼古拉和约翰都是数学家。尼古拉后来在圣彼得堡从事数学研究。他去世时，叶卡杰琳娜女皇为他举行了国葬。约翰于1705年接任兄长的巴塞尔大学数学教授的职务。欧拉就是受约翰的指导和教育而成长起来的。
约翰是微积分学上有着重要地位的数学家。牛顿晚年解答的那道着名的题就出自约翰之手。有关“最速降线”的解答，约翰、雅格布、莱布尼茨、洛比塔、牛顿等人做出了努力，成为早期变分学的研究者。
伯努利家族的几位数学家均是先开始学习医学或法学、哲学，都取得最高的学位，而后转向自己兴趣爱好之所在数学，他们家族是一个典型的自然科学学者型家族。
约翰的儿子是丹尼尔，他出生在荷兰的格罗宁根。
1695年，莱布尼茨指出，力要区分“死力”和“活力”，“死力”是指静力学的力，“活力”是指动力学的力。莱布尼茨的观点有很大影响，丹尼尔·伯努利于1738年出版了《流体动力学》。书中将微积分的方法运用于流传动力学和气体动力学的研究之中，建立了一个理论性的体系，就是伯努利方程，也称伯努利原理。
丹尼尔是数学物理方法的开拓者和奠基人。
丹尼尔的弟弟约翰第二及几位堂兄弟，也是数学家。
伯努利家族是瑞典乃至欧洲的一个着名望族。后来，他们在彼得堡科学院工作过，也推荐了欧拉。
虚功原理就是约翰第二与丹尼尔讨论中提出的，记载于父子俩的信件中。
39.泰勒与他的“泰勒定理”
泰勒，1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生，英国数学家。18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。
1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要着作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理──泰勒定理：式内ｖ为独立变量的增量，及为流数。他假定ｚ随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当ｘ＝０时便称作马克劳林定理。