在实数范围内，方程x2+1=0是无解的，因为任何实数，不论是正数、零还是负数，它的平方都是正数，或是零，不可能找到平方等于－1的数。
为了使这个方程有解，科学家引入了一个新的单位数i，规定它有性质i2=－1，这样的性质是任何实数都没有的。根据这性质知道它有i=±－1，这与在实数范围内负数不能开平方的结论不同，人们把－1记作i称为虚数单位，由于虚数单位i和一个实数合起来组成的数，称为虚数，如6i，10i。
符号i是数学家欧拉于1777年在他的论文中首先使用的。后来德国数学家高斯系统地运用它，并给出了有关虚数的运算法则，以后逐渐被普遍采用。有了i这个虚数单位，人们就将数从实数扩充到复数。复数的形式为a+bi，其中a、b为料数若a=0，b≠0，则称bi为纯虚数；若a≠0，b=0，那就是实数。因此可以把实数看成虚部为零的复数。
在复数范围内，人们规定了它的运算法则。设a1+b1i和a2+b2i是两个复数，有：（a1+b1i）+（a2+b2i）=(a1+a2)+(b1+b2)i（a1+b1i）－（a2+b2i）=(a1－a2)+(b1－b2)i（a1+b1i）·（a2+b2i）=(a1a2－b1b2)+(a1a2+b1b2)i
a1+b1ia2+b2i=(a1a2+b1b2)+(b1a2－a1b2)ia22+b22例如：（25+2i）－（20－2i）
=(25－20)+（2－－2）i
=5+22