无理数就是不能表示为整数或两整数之比的实数，如2、π等等。这些数不像自然数或负数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。
人们发现的第一个无理数是2。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（如果1：x=x：2那么x为1和2的比例中项），左思右想都想不出这个中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为x，于是x2=12+12=2。他想，x代表正方形对角线长，而x2=2。他想，那么x必定不能是整数，那么x会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个数。
这样，如果x既不是整数又不是分数，它是什么样的数呢？希帕索斯等人认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯等学派的观点动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点而受到处罚，被扔到大海里淹死了。
无理数的发现，使数的概念又扩大了一步。
真实的虚数
“虚数”这个名词，听起来好像“虚”，实际上却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数，可以算出要求的根；如果是负数怎么办呢？
譬如，方程x2+1=0，x2=-1，x=±－1。那么，－1有没有意义呢？在很久之前，大多数数学家认为负数没有平方恨。到了16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹发表了《大法》这一数学着作，介绍了三次方程的求根公式。他不仅讨论了正根和负根，还讨论了虚数根。如解x2－15x+4=0这一方程时，依据他的求根公式，会得到：
x=3－2+－121+3－2－121
其中－121就是负数的平方根。卡尔丹写出了负数的平方根，但他认为这也仅仅是形式表示而已。说明他对负数平方根的性质并不了解。1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年，瑞士数学家开始用符号i=－1表示虚数结合起来，写成a+bi形式（a、b）为实数，称为复数。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知。在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此，在很长一段时间里，人们对虚数产生过种种怀疑和误解；笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管是许多地方用了虚数，但又说一切形如－1、－2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
欧拉之后，挪威一个测量学家维塞尔，提出把复数a+bi用平面上的点（a、b）来表示。后来，高斯提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量），这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是：虚数不虚！