虽然奎贝尔教授抓住话语间的模棱两可之处解决了这个问题，但这个问题并不像乍看上去那么简单。例如，还是这个问题，如果改成100只满杯挨着100只空杯排成一排，请考虑一下，若要使其变成满杯和空杯交错排列，需将多少对杯子互换位置，显然一般地，如果有2n只杯子，n只满杯，n只空杯，需要将n/2对杯子互换位置。方法是：2k号杯子与2k+n号杯子互换位置即可（k=1，2，3，…），若n=100，则需互换50次。
有一个与上面分析的问题类似但困难的多的古典难题。这回用两种不同颜色的杯子作为道具，但是移动方法却大相径庭：每次只能一块儿移动一对相邻的杯子，使结果成交错排列，以n=3为例，解题过程如下图所示：
1 2 3 4 5 6
■■■□□□
■□□□■■
■□□■□■
□■□■□■
普遍的解是什么呢？当n=1时，没有意义；当n=2时，无解；当n>2时，解此问题至少需要移动n次；当n=4时，求解很不容易，你不妨试试，煞是有趣；或许你能够把当n≥3时的解题过程公式化。
根据这一难题还可以产生许多奇异的变相问题，用来测验你的智力。这里试着举几例：
（1）仍然是同时移动两只相邻的杯子，但是如果颜色不同，则要在移动过程中交换位置，这样一对黑白的杯子就变成一对白黑排列了。解8只杯子需要移动5次；对于10只杯子，5次移动也够了。
（2）某种颜色的杯子少一个，即某种颜色的杯子有n只，另一种颜色的杯子有n+1只，其余规则不变，已经证明：对于任意n只杯子，其解须作n次移动，而且这是最少的移动次数。
（3）使用三种不同颜色的杯子。按照通常的方法移动一对相邻的杯子，使得所有这三种颜色交相辉映。当n=3（共有9个杯子），其解需要作5次移动。在这些变相问题中，假设在最终形成的排列中，不允许留有任何空距。如果允许留有空距，则问题的解法就令人惊奇地变为移动4次了。
由此看来，还有许多其他的变化形式，例如，假设一次可以同时移动3只或更多的杯子，如上述各变相问题中改用这种移动方式，结果又会如何呢？假如是第一次移动1只杯子，第二次移动2只杯子，第三次移动3只杯子，依次下去，那又会怎样？给定某种颜色的杯子n个，另一种颜色的杯子也为n个，这个问题的解是否总是作n次移动。这种种问题都有待于人们去解决，这是非常有趣并值得我们思考的趣题。
平平常常的生活中也有不平常的数学问题，对于生活中这些富有谜一样意义的例子，你是否睁大了双眼去仔细观察了呢？
角谷猜想
“角谷猜想”又称“奇偶归一猜想”，或“3n+1猜想”、“考拉兹猜想”、“哈塞猜想”、“乌拉姆猜想”或“叙拉古猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“奇偶归一猜想”更形象，也更恰当。
为什么叫它“奇偶归一猜想”呢？
意思是，它算来算去，数字上上下下，最后一下子回归到最小正整数，变成一个数字：“1”。
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，如果它是奇数，则对它乘3再加1，即将它变成对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1。
对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9，则 9×3+1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3+1=22，22÷2=11，11×3+1=34，34÷2=17，17×3+1=52，52÷2=26， 26÷2=13，13×3+1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。
你看，经过19个回合（这叫“路径长度”），最后变成了“1”。
若 N=120，则120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3+1=46，46÷2=23，23×3+1=70，70÷2=35，35×3+1=106，106÷2=53，53×3+1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。
你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”。
有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1。例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。
你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776。
由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“角谷猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。（在我们所查阅的资料中，尚未见到对这一猜想的完整证明。）可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。
不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1。……如此下去，经过有限次步骤运算后，它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17。
自然界有众多的谜团，亲爱的读者，你能对它们作出证明吗？更进一步，你能作出新的发现，为数学这个万花园增添新的奇光异彩吗？
欧拉猜想——三十六军官问题
欧拉是18世纪最优秀的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等多个数学领域中都取得了出色的成就，一生著作颇丰，很是令人敬仰。
在欧拉的一生当中，他曾经提出过很多问题，但有一个问题却让人难以忘记。内容为：从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？
如果用（1，1）表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官，用（1，2）表示来自第一个军团具有第二种军阶的军官，用（6，6）表示来自第六个军团具有第六种军阶的军官，则欧拉的问题就是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看，都恰好是由1、2、3、4、5、6组成。
历史上称这个问题为三十六军官问题。 三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决，直到20世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推广到一般的n的情况，而相应的满足条件的方队被称为n阶欧拉方。
欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=4t+2阶欧拉方都不存在。t=1时，这就是三十六军官问题，而t=2时，n=10，数学家们构造出了10阶欧拉方，这说明欧拉猜想不对。但到1960年，数学家们彻底解决了这个问题，证明了n=4t+2（t≥2）阶欧拉方都是存在的。
问题终有它提出的依据和存在的必要，这需要我们不断的为之思考和努力。
柯克曼女生问题探秘
19世纪50年代，英国数学家柯克曼提出了一个有趣的“女学生”问题。即在某地方的一所住宿学校中，有九个女学生同住在一间宿舍里，每天她们都要去校外散步一次。为了加强她们之间的相互了解和增进友谊，负责宿舍的管理人员想，她们散步时把她们分成三组，每组有三位同学 ，是否可以使每个女生在四天之内都能与其他的八名女生有且仅有一次在一组的机会 。这个乍看起来很简单的问题 ，却使管理人员苦苦思索了很久。1851年他终于找到了一组分组的答案符合他的要求于是在名为《女生与先士的日记》的杂志上发表了相关文章。问题解决了，女生们也可以按照他的方案去校外散步了。后来人们把这种方案称为“柯克曼三元系”也称“柯克曼女生”问题。
其实在柯克曼女生问题提出后得到多种解答，其中较有代表性的答案是皮尔斯于1860年左右提出，并被数学家西尔威特认为是最好的解法。皮尔斯先假定一位女生固定在某一组，再将其它十四位女生编上号码（1至14号），并按照一定规律安排星期天的分组散步，则其它六天星期r散步（r=1，2，3，4，5，6）分组可按原编号与r的数字之和安排（和数超过14则减去14）。
另外，有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题：设有N个元素，每三个一组成若干组。这些组分别组成一个系列，现称为“柯克曼序列”。若每一元素与其它元素恰有一次同组的机会，问将N分成这种序列要满足的充分必要条件是什么？怎样组成此序列？一般解答直到二十世纪六十年代后才有突破。中国数学家陆家羲对此曾作出过重要的贡献。
但凡问题大都和生活息息相关，也许你也可以从俗事中提出一个令人叹为观止的问题呢！
首位数谜解
人们因为对生活中的许多现象习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。
天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。20世纪初，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以1为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。
大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外，共有九个数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为1的自然数应该占全体自然数的1／9。可是，事实并不这么简单。20世纪70年代，美国斯坦福大学统计学家珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是1的自然数约占全体自然数的1／3。准确一点说，这个数值应该是lg2约为0.30103。这是怎么一回事呢？
事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是；
1到9之间，这样的数只有1个，它就是1，所以占1／9；
1到20之间，这样的数有11个，它们是1，10，11……，19，所以约占1／2，
1到30之间，这样的数同样有11个，约占1／3，
1到100之间。这样的数仍然只有=1个，约占1／9，
1到200之间，这样的数有111个，它们是1，10，11，…，19，100，101，…，199，约占1／2。
注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在1／2与1／9之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的lg2。
迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。
有时一件微不足道的发明也会使宇宙改变颜色。你还在等待什么，尽情地发挥你的奇思妙想吧！