在西方，勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前5世纪首先发现的，所以西方又将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。其实这个定理要早于这个时间被人们发现，这个时间实际上是毕达哥拉斯证明这个定理的时间，他是最早证明这个定理的人。关于他是如何证明这个定理的现在已经无从考证了。我国古代也有数学家曾经尝试过来证明它，三国时期吴国的数学家赵爽就取得了重大收获，并由此开创了中国数形统一的先例。现在人们已经有了四百多种方法来证明这个定理。
勾股定理虽然是一个古老的定理，但却始终散发着神奇的气息，人们在勾股定理的基础上又发展了很多重要的理论，其中包括开平方、开立方，用勾股定理求圆周率等等。它一直以来吸引着中外数学家们的目光，可见它的独特魅力。
勾股定理是个自然和谐之美的产物，数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。
哥尼斯堡七桥问题
18世纪，在东普鲁士（今俄罗斯加里宁格勒）有一座风光旖旎的城市，普莱格尔河在这个城市的中心缓缓流过，给这座城市更添了几分妩媚。普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连结在一起。这七座桥和普莱格尔河“珠联璧合”，成为人们休闲的好去处。
城市里的居民们经常漫步于河岸与这七座桥之间，经常来散步，时间久了人们自然而然地想到这样一个问题：能不能每次每座桥只走一次，但又把每座桥都走遍呢？这就是举世闻名的“哥尼斯堡七桥问题”，一个著名的图论问题。
每个到这里散步的人都想试一试，可是这个看似简单的问题，却从没有人能按照规定走一遍。七桥问题困扰着很多人，在百思不得其解的情况下，有人将这个问题提给了著名的数学家欧拉，希望欧拉能揭开这个谜底。欧拉当时已经是著名的数学家了，他并没有因为这个问题看起来很市井就拒绝解决它，相反，欧拉对这个问题产生了浓厚的兴趣，并且凭借他的才智很快证明了这种走法根本不存在。
欧拉想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那么如果把图中被河隔开的陆地看成四个点，七座桥就看成是七条连接这四个点的线，如果将四个点分别设为A、B、C、D，那么“七桥问题”就等价于一个笔画问题了。如果笔能够不离纸，不重复的一笔将这个图形画完整就说明存在符合要求的路线。反之，则说明不存在这样一条路。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画，而图上的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出。这就说明不存在一次走遍七座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
就这样，这个使很多人困惑的哥尼斯堡七桥问题被欧拉解决了。欧拉将岛、陆地的具体形象抽象化了，再将桥连成线，这样就把这个疑难问题转化成了点和线问题。这种由具体转抽象的研究方法，被人们称为图论研究。哥尼斯堡七桥问题就是这种研究的开端，同时它也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。欧拉超人的智慧也成就了他在数学史上的崇高地位，使他在数学史上名垂千古。
哥尼斯堡七桥问题的发现和解决都很具有戏剧性，好像人们在娱乐中将它发现，后来又在数学家的智慧下将它解决，哥尼斯堡七桥问题在不经意间带给了人们惊喜，正所谓生活中处处有惊喜，缺少的只是创新思维和严谨的态度。
现实生活中其实有很多事物能够带给我们很多启示，它们在等待着细心和智慧的心灵来发现它们。
虚数
在开方的时候，被开方数一定要是非负数，这样它才有意义。在被开方数为负数时，在实数范围内无解，数学家们就把这种运算的结果叫做虚数。因为这样的运算在实数范围内无法解释，所以叫虚数。实数和虚数结合起来（a＋bi）就是复数。I作为虚数的单位最早是由欧拉提出的，他是由imaginary（想象的、假想的）一词的第一个字母来作为虚数单位的。但是“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡儿在17世纪30年代率先提出来的。
虚数作为数学领域中重要的数学概念，并不是由数学家确定的，而要感谢的是一位挪威的测绘员威赛尔和一位巴黎的会计师阿尔干。这可以说是数学史上的一个掌故了。然而，同许多新生事物一样，虚数的发展并不是一帆风顺的。
很长时间以来，人们一直认为负数没有平方根。甚至虚数从开始出现以后，经过了两个世纪，人们还是没有正式承认它的存在。要归功于直到意大利数学家卡尔丹率先承认了它的用处，虚数的用处才开始被人们了解。卡尔丹在他所著的《重要的艺术》一书中肯定了负数开平方的用处。但遗憾的是当时人们并没有对负数进行进一步深入的研究，对它的认识还只是存在于表面，就更没有对负数开平方进行研究，人们对它的用处还处在一种几乎无知的境地，所以人们对这个“天外来客”有一种抵触的心里，就连伟大的数学家欧拉也没有承认它。
随着数学的发展，已有的有理数已经不能满足数学的发展需求，代数方程的求解问题就是一个当时无法解决的问题。
直到16世纪，卡尔达诺做了第一个吃螃蟹的人。卡尔达诺在他的《大衍术》中第一次使用了负数开平方的概念，这是一个大胆的尝试，但是他仍然表示这个表达式是虚构的、想象的，学者们也都小心谨慎地运用它。
直到18世纪末，挪威的测绘员威赛尔给出了虚数的图像表示，用a＋bi表示平面上的点，这时虚数才开始在人们面前揭开神秘的面纱。他和巴黎的会计师阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做了能使数学界认同的几何解释。后来，高斯使直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，虚数才广为人知。从此复数开始表示向量，在很多学科中发挥着它的功用。
虚数的出现，使无理数在有理数面前更加有底气，并且在虚数的基础上还引出了复数的概念，虚数其实很复杂，它的神秘面纱还没有完全揭开，它在等待人们对它进行进一步的研究。虚数的名字来源于人们的“顽固”，好在现在人们对虚数的应用却不那么糊涂了，人们已经懂得了它的重要性。相信在未来，虚数将进一步发挥它神奇的、“虚幻”的作用。
新事物的出现总是要经历一个曲折的过程，在最初认识虚数的时候人们也曾提出过质疑，然而实践是最好的证明。所以，我们在认识和判断事物的时候一定不要轻易地下定论。
二进制疑团
二进制究竟是谁发明的？随着计算机的普遍运用，这一问题几乎已经成为一个热点学术话题。
目前对于这一问题的争论主要有两种：其中一种认为二进制是由德国伟大的数学家莱布尼茨发明的，而另一种观点则主张二进制来源于中国古老而神奇的《周易》。
首先我们先了解一下什么是二进制，它在现代社会中扮演着怎样的角色。
在所有的进位制中，最为大家所熟悉的要数十进制了，人们每天的生活都和十进制息息相关。古人们采用了各种进位制来使计数和运算更为方便，而十进制就是人们使用最广泛、最普遍的一种进位制。原因很简单，因为人有十个手指。所谓十进制就是每数到十进一位，那么二进制就是逢二进一了。其实，二进制也与我们的生活紧紧相连。现代社会已经越来越离不开电子计算机了，而在电子计算机中，信息、指令、状态都是用二进制数表示的，运算处理也是用二进制数进行的。
十进制虽然被人们广泛应用，但它并不是最科学、最合理的，因为古人发明和使用它是基与一种近乎本能的举动，而二进制则更显其方便简约的优点。那么是谁最先洞察出二进制的优越性呢？两种主张的学者们各执己见，并展开了激烈的讨论。
数学史上明确记载，二进制的发现在17世纪中后期就已经被莱布尼茨完成了，而二十多年以后他才看到伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图。这就是主张莱布尼茨是首先发明二进制的主要依据。这些学者们主要认为莱布尼茨是先发明了二进制后才见到伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图的。而《周易》中的这两幅图只不过是莱布尼茨用来解释二进制的。所以，二进制的发明理所应当是莱布尼茨的贡献。
而认为二进制是从中国走出去的学者们也有强大的证据做后盾。
这种说法的主要依据是斯比塞尔的《中国文学》（或译为《论中国的宗教》）一书。在这本书中，作者有两个部分对《周易》做了阐述。更具有说服力的是斯比塞尔在这本书中把《周易》直接写成了二进制。这个提法在现有的文献资料中尚属首例，所以，一部分学者坚决认为二进制是我们中华民族的创造。
这个问题至今还没有一个定论，无论是支持莱布尼茨是二进制的发明者，还是坚守二进制是中国人成就的阵地，两者都有强有力的证据为自己的观点作证。看来这个问题的解决需要等待人们进一步的研究和新的发现。无论是谁首先发明了二进制，都不会影响到二进制是一种科学的、合理的进位制。它的本质永远都不会因为是谁先发现了它而有所改变。
二进制的疑团还没有解开，但是这并不重要，维纳斯女神的断臂是一种缺陷美，我们何不让它保留它的神秘呢？
素数有多少
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其他两个整数的乘积。在自然数里，根据能否被2整除的性质，而分成偶数和奇数。一个大于1的数如除了1和它本身以外，再没有其他自然数能整除它，我们就称它为素数。
西方的数学家一般都认为希腊人是最早懂得素数的民族。可是，20世纪末在非洲出土的一些六千多年前非洲人的骨具，证明了希腊人并不是最早知道素数的民族。这个最新的发现使素数的发现变得扑朔迷离起来。两千年前的埃及有一个图书馆的管理员叫伊拉托斯丁纳，他是希腊学者，就是他发现了怎样找出素数的方法，为了纪念这位学者的贡献，后来人们将这种方法以他的名字命名为筛法，按照这种方法可以把素数从像砂子那么多的整数里筛出来。
运用方法我们将1，2，3，4…直到N，将这数列中划去所有2的倍数，在2之后第一个没划去的数是3，于是就在这数列中除了3之外删去所有3的倍数。按着3之后的第一个没有被划去的数目是5，然后再划去除了5以外的所有5的倍数。这样以此类推在整数中将素数筛选出来。
早在三百多年前，在欧几里得的《几何原本》一书里，欧几里得就介绍了素数的概念，并使用反证法很巧妙地证明了在自然数列里素数的个数是有无穷多个的。此后，许多数学家曾对这种素数进行研究，17世纪的法国教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。
数字越大越难发现它的素数，所以以前人们对素数的发现有很多的局限性。直到计算机的出现，才使素数的发现有了突飞猛进的发展，发现了有79位数字的更大素数180（2127－1）＋1，时隔一年，又产生了新的最大的素数，是22281-1，有687位数。此后最大的素数每隔一段时间就要更新一次。
人们现在依然坚持着对最大素数的追寻，美国一家基金会还专门设立了10万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。和单纯地从科学角度出发来研究素数相比，好像现在的人们还增添了对谁是最大素数的兴趣。
也许人们永远不会停止追寻素数的脚步，但这并不一定是为了奖金，也许，这只是单纯的人们对待科学的严谨的态度。
人们有时候对科学是很执着的，就像对素数。持之以恒、坚持不懈等等这些精神都为人们研究科学提供了强大的精神动力。
集合论
集合论是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论是近代数学的基础之一。
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。由于微积分的创立，许多问题亟待解决，集合论就是在这样的背景下产生发展起来的。
康托尔提出了集合的概念，给出的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。集合概念的提出为集合论的产生做了理论上的准备，有了集合才能使集合论在它的基础上产生。
无限集合的概念是困扰集合论的首要难题，也许正因为这样，古往今来的许多数学家和哲学家们都被这类集合所吸引。例如亚里士多德，他一方面承认无限集是确实存在的，但另一方面却否认无限集合可以以一个固定实体的形式存在。亚里士多德对集合的理解对学术界产生了深刻的影响，两千年来数学的发展都会多多少少地受到了他这种观念的影响。
在漫长的中世纪，哲学家们对于是否有无限集合的存在这个问题一直没有明确表明立场，而集合论的真正发展经历两个阶段：20世纪之前称为朴素集合论；之后产生了所谓公理集合论。
集合论的产生发展也并不是一帆风顺的。在集合论刚开始提出的时候，不但没有得到当时数学家们的支持与赞同，相反还遭到了猛烈的抨击。在重重重压之下，康托尔不堪重负，得了精神分裂症，几次游走在精神崩溃的边缘。二十多年后，集合论终于获得了世界的承认，它的价值开始在实际运用中得到体现。
按现代数学的观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合，如群、环、拓扑空间等，都是可以通过集合来定义的。从这个意义上说，集合论可以看做是整个现代数学的基础。
也有人说集合论是错误的理论，因为朴素集合论中出现了一些悖论，有些人认为这些悖论就证明了它是一种错误的理论，所以集合论（包括朴素集合论和各种公理集合论）是错误的理论。但是这并不影响康托尔集合论对数学做出的贡献。
现在距离康托尔提出集合论已经一百多年了，事物都是不断进步发展的，集合论也有更新的发展，使它能够在数学的发展进程上继续引航。
集合论的产生有着让人神伤的过程，康托尔在集合论的发展道路上做出了巨大的牺牲，科学有时候也是残酷的，更重要的是我们能够在错误中吸取教训，这样才能不断进步。
运筹学