论证就是用一个或一些已知为真的判断确定另一个判断的真实性的思维过程。在日常生活中，人们经常要确定某一思想的真实性，以便使他人不但知其然而且知其所以然。为了确定某一判断的真实性，并使之有说服力，就要运用有关事实的判断或有关科学理论作为根据，借助于一定的推理形式，由此推断出某个判断为真的结论，这就是论证。
【寺中石兽今何在】
沧州城南，有一座靠近河岸的寺庙，山门倒塌，一对石头雕的野兽也随着滚到河里去了。
过了十几年，准备重修山门，需要把那一对石兽打捞起来。但是，河水悠长，到哪里去寻找呢？
起初，人们在山门附近的河水里打捞，仔细寻找，可是没有找到。
有人认为顺着流水滚到下游去了，划着几只小船，拖着铁钯，找了十几里路远，也没有找到。
有一位在寺庙里教书的“讲学家”责备打捞人说：“石兽又不是木头雕的，怎么能被流水冲到下游去呢？右兽坚固而沉重，泥沙稀松而轻浮，石兽淹没在河中泥沙里，只会越陷越深。你们在山门附近的河中泥沙上面找，甚至到下游去寻找，难道不癫狂吗！石兽一定深深沉陷在山门附近的泥沙底下。”人们听了他的话，佩服他说得对，但是按照他的意见深挖了又深挖，仍然没有找到石兽。
有一位老河工断言“凡河中失石，当求之于上游”，他说：“石兽是坚固沉重的，泥沙是稀松轻浮的，流水的力量不能一下子把石兽冲走，但是被石兽挡回来的流水的力量必定在面对流水的石兽下边，把泥沙冲开，形成一个窟窿扩大到中部时，石兽不能再保持平衡，必定倒翻到窟窿里去。流水再冲击泥沙，到一定时间石兽再倒翻一次，接连地倒翻，这对石兽就逆着流水‘上翻’到上游去了。”
人们依照老河工的意见去寻找，果然在上游几里远的地方把那对石兽找到了。
故事中，有人认为石兽在河的下游，有人认为石兽在寺下面的河底中，老河工则断定石兽在河的上游。老河工运用物理学的一般原理，证明他的论断。人们在河的上游找到了石兽的事实说明，老河工的论证是正确的。
什么是论证呢？论证就是用一个或一些已知为真的判断确定另一个判断的真实性的思维过程。在日常生活和科学研究中，人们经常要确定某一思想的真实性，以便使他人不但知其然而且知其所以然。为了确定某一判断的真实性，并使之有说服力，就要运用有关事实的判断或有关科学理论作为根据，借助于一定的推理形式，由此推断出某个判断为真的结论，这就是论证。在上述故事中，老河工就是用“如果石头跌落河中，那么由于它对水流反击力而形成的沙坑会使它渐渐转往上游”；“寺中的石兽已跌落于河中十余年”这两个为真的判断，确定了“石兽在河的上游”这一判断的真实性。
任何一个论证都是由论题、论据和论证方式三个要素构成的。
论题是通过论证要确定其真实性的判断。它回答的是“论证什么”的问题。“石兽在河的上游”就是上述的论题。
论题一般有两类：一类是科学上已被证明的判断，另一类是科学上尚待证明的判断。对前一类论题的论证，其目的主要在于宣传真理，使人确信每个论题的真实性。对后一类论题的论证，其目的在于探索论题的真实性。
论据是用来确定论题真实性的判断，它是使论题成立并使人信服的理由或根据。它回答的是“用什么来论证”的问题。
在一个论证中，论题只有一个，而论据一般有多个。
论证方式是指论据和论题之间的联系方式，也就是论证过程中所运用的推理形式。它所回答的是“怎样用论据进行论证”的问题。仅仅有了论题和论据不等于做出了论证，还必须有一个从论据到论题的推演过程，即借助一定的推理形式。有些论证只包含一个推理，有些论证则包含了一系列推理。因此，也可以说论证方式是论证过程中各种推理形式的总和。
值得注意的是，论证方式在论证的语言表达中没有论题和论据那样明显，而是以隐含的形式存在于论题和论据之中，它体现的是如何从论据推出论题。因此，分析论证方式就是分析论证过程中采用了何种推理形式。
【天文学家与薪金】
格林尼治天文台是英国国王理查二世在1675年建造的一个综合性天文台，坐落在泰晤士河畔的一座小山上。有一次，英国女王安娜去参观格林尼治天文台，当知道当时的天文台台长、著名的天文学家詹姆·布拉德莱的工资非常低时，就当即表示提高他的薪金。
詹姆·布拉德莱非但没有表示感谢，还恳求女王别给他加薪。安娜女王对此十分纳闷，便说：“没有人不喜欢增加薪水的。给你增加薪水，是对你在天文领域做出贡献的充分肯定。我们需要科学知识，更要尊重为此付出努力的科学家们，提高你的薪水，是件合情合理的事情，请你不要拒绝。”
詹姆·布拉德莱解释道：“增加薪水的确是件好事，可以改善我的生活。但如果这个职位可以带来大量的收入，那么以后来天文台工作的人，就将不是为了从事天文研究，而是为了获得更多的薪水，这样的话，对天文学的研究就没有任何意义了。”
詹姆·布拉德莱最终说服了安娜女王。
布拉德莱的品德令人敬佩。为了他所钟爱的事业，他宁愿拿低薪而不放弃手中的工作。他在向女王说明为什么不要给他提高薪金时，实际上是用如下推理来论证的。
假如给我提高薪金，那就表明这个职位能带来大量收入；
假如这个职位能带来大量的收入，那么以后来天文台的人将会不是天文学家；
所以，假如给我提高薪金，那么以后来天文台的人将会不是天文学家；
我们不能让不是天文学家的人来天文台工作；
所以，不能给我提高薪金。
布拉德莱的以上论证其中包括了一个纯假言推理和一个充分条件假言推理的否定后件式，这两个推理的总和就构成了布拉德莱论证“不能给我提高薪金”这一论题的论证方式。
根据论证方式所使用的推理种类的不同，形式逻辑把论证分为演绎论证、归纳论证和类比论证三大种类。
演绎论证就是使用演绎推理形式做论证方式的论证；归纳论证就是使用归纳推理形式做论证方式的论证，类比论证就是使用类比推理形式做论证方式的论证。
以上布拉德莱的论证，由于它所使用的都是演绎推理，所以这个论证即属于演绎论证。
【爸爸和儿子哪一个更聪明】
一天，甲乙两个人在一起聊天，聊着聊着，便聊到“爸爸和儿子哪一个更聪明”的话题，两个人都有自己的观点，双方互不相让，便展开了一场辩论。
甲为了证明“儿子一定比爸爸聪明”，摆事实讲理由，还把爱因斯坦作为例子，他说：“爱因斯坦创立了举世闻名的‘相对论’，爱因斯坦的爸爸却没有，所以儿子一定比爸爸聪明。”
乙也不示弱，像甲一样，为了证明自己的观点“爸爸一定比儿子聪明”，他也是旁征博引，当甲提出爱因斯坦时，他却说：“因为创立‘相对论’的是爱因斯坦，而不是爱因斯坦的儿子，所以爸爸比儿子聪明。”
其实，甲乙两人在论证自己所提出的论题时，用的都是归纳论证，但他们那是仅仅从一个例子便得出了一个普遍性的结论，因而从他们的论证所使用的归纳推理讲，他们都犯了“轻率概括”的逻辑错误。从他们的论证方式看，他们都违背了“‘从论据应能推出论题’的规则，犯了‘推不出’的逻辑错误”。
在归纳推理中，完全归纳推理由于其前提列举了所有的情况，因此它的前提如果是真实的，结论也一定是真实的。因此，利用完全归纳推理所进行的归纳论证，如果论据都是真实的，那论题也一定是真实的。然而，不完全归纳推理其前提却并没有列举所有的可能情况，因此使用这种归纳推理做归纳论证时，一定要注意所举的事例的典型性，而决不能仅仅根据主观需要或主观想象，随便挑选一些个别事例做论据。列宁就曾经说过：“如果不是从全部总和、不是从联系中去掌握事实，而是片面的和随便挑出来的，那么事实就只能是一种儿戏，或者甚至连儿戏也不如。”这样的事例，当然并不能证明论题的真实性。
以上小品中的甲乙二人都只是根据一个特殊的事例，并把它们从事物的联系中割断，从而去论证自己所提出的论题。这样的事例根本就没有一点典型性，因此甲乙二人这样的论证不但没有说服力，而且还是错误的。
【挑剔的女人】
丈夫说：“亲爱的，我爱你胜过我爱自己，可是日常生活中你太爱挑剔了，你的这种行为简直快把我逼疯了。我敢打赌，无论在什么地方，你一分钟之内准能挑出毛病来。这样下去，会影响我们夫妻的感情，请你改掉挑剔的坏习惯好吗？”
妻子听了丈夫的话后，没有生气，反而说：“不就是一分钟吗，打赌就打赌，我准能赢你。”
于是，夫妻二人打起赌来。刚过了片刻，妻子脱口而出：“房间内热得简直像个蒸笼，你就不能把空调的温度调低点吗？”
丈夫微微一笑，说：“你输了。”
“啊！”妻子一下子明白过来，原来自己在和丈夫打赌，于是便问道：“过了多长时间？”
丈夫说：“刚刚过去40秒。”
妻子一听，气得大声说道：“我早就告诉过你，你就是不听，这种表的质量一点儿都不好，走时从来没有准过。”
不到一分钟，这位妻子就连续挑出了两个毛病，而且还是在她和丈夫为这个事正在打赌的时候，这样的事例可以说够典型的了。只要有这样两个事例做论据，运用归纳论证完全可以证明丈夫开始提出的那个判断是真实可信的，这里用不着也不可能把这位妻子挑毛病的所有情况都列举出来。
像以上这种论证，就属于利用不完全归纳推理进行正确的归纳论证的例子。
利用不完全归纳推理形式进行归纳论证，在实际思维与表述中并不少见。例如，“张女士是位具有亲和力的老板”这样的论题。
张女士经营着一家化妆品公司，生意做得风生水起，下辖好几个门店，员工近百人。她能够有今天的成绩，是从化妆品推销员一步步做起的。由于此前在销售上做了许多年，更能理解一线员工的不易，所以，她当上老板后，非但没有摆老板的架子，反而与员工打成一片，视她们如亲姐妹，谁家有个困难或者出现意外情况，她都会第一时间冲在前面，与当事者一起共渡难关。然而，作为老板，张女士也有自己的底线，就是不允许公司内的员工用其他公司的产品。对于这一情况，下属表示理解，并给予配合。让人没想到是的，新来的前台周小姐却破坏了规矩。那天，周小姐补妆后，没有及时将自己的化妆品收起来，恰好被张女士看到。
周小姐刚到公司，同事就给她介绍了老板不喜欢员工使用其他公司化妆品的规矩。周小姐发现被老板看到后，吓得更紧把化妆品收了起来。张女士走到周小姐身边，把一只手搭在她肩膀上，微笑着，用轻松的口气说道：“美女，你使用的化妆品不是我们公司的吧。”周小姐浑身汗毛直立，没敢出声，不住地点头称是，心想：“这次被老板逮个正着，挨批是小事儿，说不定……”想到这里，周小姐不敢想下去了。
出乎意料的是，张女士并没有冲周小姐发火，抬起手拍了拍她的肩膀，什么也没说，转身离开了。更让人想不到的是，第二天，张女士将一套化妆品送给周小姐，说：“其实我们公司的化妆品不比其他公司的差，你先试试，假如在使用过程中出现不适或皮肤过敏，请及时告诉我。”
张女士的行为，让周小姐非常感动。她在使用一段时间后，将自己的体验告诉张女士。
就这样，公司所有的新老员工都有了一整套本公司生产的，适合自己的化妆品和护肤品。张女士亲自做了详细的示范。她还告诉员工，以后员工在购买公司的化妆品时可以打折。张女士亲和的态度，友善的口语表达，使她自然地与员工打成一片，成功地灌输了她正确的经营理念。亲和力易于消除人与人之间的隔膜，进而使传达者有效地把自己的思想传递给被传达者。
故事中，为了证明“张女士的亲和力”，“不摆老板的架子，和员工打成一片”是论据，“周小姐用其他公司的化妆产品，张女士发现后，非但没有怪罪对方，反而送给她一套本公司的化妆品”同样是论据。
【编辑的答复】
一个女士写了一部长篇小说，寄给一个著名的编辑。几个星期后，稿件被退了回来。这个女士非常生气，于是便给编辑写信道：
“亲爱的先生：
“昨天你把我的文章退了回来。你怎么会知道这个故事不好？你根本没有看。寄之前，我把第18、第19和第20页粘在一起。这是要检验一下你是否看了这个故事。昨天文章退回来的时候，这几页仍然粘在一起，你就是这样来看别人寄给你的稿件吗？”
编辑这样回信：
“亲爱的夫人：
“我吃早点的时候，剥开一个鸡蛋，没有必要把它吃完才发觉是坏的。
这里，这位编辑显然是采用类比论证的方式，把吃鸡蛋和看书稿相类比，从而来证明“你的书稿写得不好”这样一个论题的。
类比论证在实际思维与表述中也并不少见。但由于这种论证所使用的类比推理结论并不是必然的，因此，人们在使用这种论证时，通常是把它作为一种论证的辅助手段，和其他论证结合在一起来使用。例如：