贝叶斯推论 诚如蒙哥所说的，基本代数在计算概率时非常有用。但是如果将概率理论运用在实际投资时，我们就需要更深入地了解这些数字的计算过程，尤其要了解频率的概念。打个比方说，扔一个硬币任何一面朝上的概率都是二分之一，这究竟代表什么含义？或者说在任何一次掷骰子时，奇数出现的概率是二分之一，这又意味着什么？从一个有70个红弹珠、30颗蓝弹珠的盒子里随便捡起一颗弹珠，是蓝色的概率大概为十分之三，这又表示什么意思？
在以上所有例子中，事件发生的概率被视为频率的一种注解，且是建立在平均法则之上的。假如不确定的事件重复发生无数次，这个事件发生的实际频率也就是事件发生的理论概率。举例说，假如我们扔硬币十万次，我们大概可以预期人头像出现的次数约五万次。依照大数法则，实际频率和理论概率只有在N次的重复情况下才会相等。就是说，在公平地掷硬币之后，我们得到的人头像这面朝上的实际频率和理论概率是一样的。
在处理任何不确定问题的时候，我们肯定无法做出如此明确的陈述。然而假如这个问题有一些明确的界定，应该是可以罗列出所有可能结果的。假如不确定的事件常常重复发生，可通过发生频率来判断出各种不同可能结果的概率。当事件仅发生一次时，判断该事件发生概率的困难度就变得相对要高了。
我们将如何评估通过明天自然科学考试的概率？或阿森纳队再次获得英超杯冠军的概率是多少？我们所面对的问题的关键在于这两件事和过去的关联性都不高。我们能够翻阅报章或在网络上找到过去所有阿森纳队的战绩数据，但我们却缺乏在相同情况下，它和其他各队重复对垒时足够而准确的表现数据。就像我们可以通过回顾过去每次自然科学测验的成绩来评估明天成绩的好坏，可是每次所进行的自然科学测验内容其实都是不同的，因此仅凭过去的成绩来预测往往是不准的。如果没有足够的内容相同的重复考试，就无法产生我们上面所说的频率分布，我们又该如何计算出概率呢？当然不能。所以，在这种情况下，我们只有依赖主观诠释概率法。其实，在我们的日常生活中经常运用到这种主观诠释概率法，只是我们在用的时候自己并没有觉察到。我们通常会说阿森纳队赢得冠军的机会是二比一，或者会说明天通过自然科学考试的概率是十分之一等，这些都是概率的表达方式，用以描述我们对事件发生的相信程度。当事情无法重复发生无数次，从而使我们取得实际频率来诠释概率时，就必须依赖自身的主观感觉。
现在你应该已经知道主观概率的概念了，其实它是你自己在对事件的可能结果做出的主观判断。停下来好好想想你的情况，你说可以考好自然科学考试的概率是十分之一，到底是因为考题太难，还是你自己没有做好充分的准备，或是因为你只是很谦虚的随口讲讲而已呢？是不是因为你作为一个忠实的球迷始终看好阿森纳队，从而使你认为它比所有其他的英国足球队都强得多呢？
根据贝叶斯推论，假如你相信自己的假设是合理的，那么你就可以认为特定事件发生的主观概率与实际频率一样是可接受的。但是为了便于分离出合理的假设，最好把主观概率当作是实际频率的延伸。事实上，在许多情况下，主观概率的诠释通常是在个人价值观的基础上加上实际的经验，而不仅仅是依据数据的规律性妄下判断。不管投资人了解概率与否，事实上投资人所有的决定都是概率的一种具体运用。投资人如果想要自己的投资获得成功，结合历史资料以及获得最新的信息，在此基础上估算出概率是非常重要的。这就是贝叶斯推论在投资中的实际运用！
巴菲特的主观概率论
巴菲特说：“先把可能损失的概率乘以可能损失的量，再把可能获利的概率乘以可能获利的量，然后两者比较。虽然这方法并不完美，但我们尽力而为。”
风险套利的操作正好说明了投资与概率理论的关联性。巴菲特曾经与一群斯坦福大学的学生分享他对套利的看法：“过去40多年来，我一直在做风险套利，而我的老师格雷厄姆在我之前已做了30多年。”单纯的套利是从两个市场对同一股票的不同报价中买低卖高赚取差价。举例来说，世界各地的许多市场对商品和货币都有报价，如果不同市场对相同商品的报价不同，你就可以在低价市场买进，到高价市场抛出，从差价中获得利差。
现今更普遍运用的风险套利方法很多，包括利用公司宣布合并或收购时机从事套利，有一些投机客甚至将套利方法运用在公司尚未发布利多消息前后的股票价格差异上，巴菲特避免做这样的事。巴菲特说：“我通常会先去评估这个并购的实现概率、潜在获利或潜在损失空间。”在巴菲特继续他的观点之前，让我们模拟下面一个案例。假设一家阿伯特（The Abbot）公司的股票以每股18元开盘，到盘中大约上午十点多钟，公司突然宣布今年内或在今后六个月内以每股30元卖给考士特劳公司（Costello），阿伯特公司的股票价格立刻快速上扬到27元，然后在此点位上盘整并且上下巨幅震荡。
一旦并购消息曝光，巴菲特会立刻加以评估。他会设法了解并购案消息的准确性。有些公司并购案并不见得如外界猜测的那样会实现，原因可能是董事会成员反对并购，或是美国联邦贸易委员会有反对的声音。所以没有人能确定这种风险套利的机会是否会突然开始，又戛然终结，这正是巴菲特担心的风险所在。
巴菲特的决策过程其实就是一种主观概率的运用。他解释道：“假如我认为一件并购案有90%的发生概率，而且股票价格受此刺激，上升空间可能是3块美金；相反，这个案子有10%的概率不会发生，而股票价格因此下跌空间约有9块，我则会认为这个案子的数学期望值为美金1.8元（90%×3-10%×9）。
巴菲特认为，接下来必须了解这个案子所涵盖的时间长短，然后将这个案子的投资报酬率与其他机会的投资报酬率相比较。假设你是以每股27元买进阿伯特公司股票，依据巴菲特的算法，这个案子潜在报酬率为6.6%（＄1.80÷＄27）。假如并购预期在6个月后发生，则本案年报酬率为13.2%。然后巴菲特再比较此项风险套利的年报酬率与其他投资机会的报酬率，最后做出是否投资的决定。
风险套利通常隐含着潜在损失。巴菲特承认：“拿套利作为例子，其实我们就算在获利率非常确定的并购交易案中亏损也无所谓，但是我们不愿意随便进入一些预期损失概率很大的投资机会。为此，我们希望计算出预期的获利概率，从而能真正成为决定是否投资此标的的唯一依据。”
从上面我们可以清晰地看到巴菲特在风险套利的概率评估上是相当主观的。风险套利并无实际获利频率可言，因为每一次交易都不同，每一种情况都需要做出不同的独立评估。但即使如此，理性的数学计算仍能显示出风险套利交易的获利期望值高低。
这种评估过程和投资股票的评估过程并没有什么两样。现在让我们通过伯克希尔公司所经历过的两个经典投资案来了解这一主观概率的评估过程，它们分别是威尔斯·富国银行（Wells Fargo）及可口可乐公司的投资案。
威尔斯·富国银行投资案
1990年10月，博克希尔公司买进威尔斯·富国银行500万股股票，以每股均价57.88元计算，总投资金额达2.89亿美元。由于这次投资，使伯克希尔公司拥有了这家银行10%公开发行的股票，于是，博克希尔公司也就顺理成章地成了后者的最大股东。这个举动备受争议。1990年年初，该银行股价曾经到过每股86美元的高价，之后由于投资人大举抛售所有位于美国加州的银行股票，股价也随之跌了下来。那时美国西海岸正经历着严重的经济衰退危机，一些人推测，由于巨大的商业及住宅贷款，大幅攀升的银行呆账严重侵蚀了其获利能力，而该银行是承担加州地区商业及房地产贷款业务量最大的银行，财务状况当然被视为特别脆弱。
巴菲特当然很明白人们对此所持的怀疑态度。但对于威尔斯·富国银行，他则有不同的见解。难道这是因为他知道其他投资专家所不知道的信息吗？这倒未必，只是他对整体情况的分析和别人的不一样。让我们与巴菲特一起走一趟他的思考历程，因为这样就可以使我们清楚地了然巴菲特究竟是如何运用概率来评估这宗投资案的。
首先，巴菲特非常了解银行业。伯克希尔公司曾在1969年至1979年间拥有伊利诺州国家和信托公司（Illinois National Bank and Trust company），当时的银行总裁吉恩·阿贝格（Gene Abegg）告诉巴菲特，一家经营完善的银行不仅获利要增长，也要在股东报酬率上交出一份漂亮的成绩单来。同时巴菲特也学习到经营银行最重要的一条是经营管理层的所作作为将决定该银行的长期价值。差劲的经理人员在不明智的放款中往往增加经营成本，而优秀的经理人员则总是在寻找降低成本的方法，并且很少承担过高放款的风险。
当时威尔斯·富国银行的总裁是卡尔·赖卡特（Carl Reichardt），他从1983年就开始经营该银行了，其业绩令人刮目相看。在他的领导下，银行过往的获利不但逐年增加，股东报酬率也超越业界的平均水平，经营效率高居全国同业榜首。同时赖卡特还建立了扎实的放款组合基础。
巴菲特说：“拥有银行并不是没有风险。”然而，在他的心目中，拥有威尔斯·富国银行的风险集中在下列三种情形中：首先是在加州的银行要随时面对大地震突袭的问题，或许会对借款人的财务状况造成严重破坏，连带危及放款银行本身；其次是商业紧缩或金融恐慌可能危及许多家高财务杠杆率的公司，无论企业主如何高明或者说公司多有前景都没有用；最后，市场最害怕的是飓风造成美国西部房地产价格大幅滑落，由此带来巨大的银行呆账。巴菲特说，这些情形没有任何一项可以排除在外。
然而根据他手上得到的证据显示，大地震突袭或经济恐慌的概率其实相当低。巴菲特虽然没有给出任何明确的数据，但是他所说的概率低通常指发生机会低于百分之三十的情况。所以他将注意力转向了风险的第三种情形。他理性地分析到，房地产价格滑落尚不至于对像威尔斯·富国银行这种经营状况良好的银行造成太大的困扰。巴菲特解释：“让我们分析以下数据，威尔斯·富国银行现在每年扣除3亿美元呆账损失，税前获利10亿美元。即使它有480亿美元的银行总放款（当然也包括房地产放款），因1991年突如其来的一场金融风暴，就使得其中的10%放款无法回收，本金损失加计应收利息损失（大约为本金的30%），银行还是可以收支相抵的。”
通常，银行逾放比（注）达到10%的时候，就表示已经有商业严重紧缩的问题。但巴菲特早就认定商业严重紧缩的概率很低，而且就算事实如此，威尔斯·富国银行仍然可以收支相抵，显示该银行质地优异。巴菲特继续说：“像那一年，我们评估该银行获利太坏的发生概率很低，所以市场传言并不会困扰我们。”
巴菲特在心里模拟了多种可能情形，遂认为任何一种情形对威尔斯·富国银行造成长期负面冲击的概率都很低。虽然该银行股票价格已下跌了50%，但巴菲特反而认为在这个时间和点位购进威尔斯·富国银行的股票，赚钱机会大约是两倍，而犯错误的概率不会因此而提高。
（注）逾放比率（Overdue Loan），指银行放款，本金延期三个月，或本金未到期而利息已延滞六个月以上，应列为逾放款项。若逾放款项再经三个月仍未缴交本息，即转入催收款项。逾放比率是逾放款项占总放款余额的比率。”
虽然巴菲特在用概率表示他的看法时并没有明确提供任何参考数据，但是他的思考过程仍极具价值。不管你是否用主观还是客观的观点来加以诠释，从概率角度考虑投资，往往会使你在没有买进前就做理性和清晰的思考。当其他投资人还没有考虑得那么清楚时，巴菲特已经在用概率理论分析投资威尔斯·富国银行的可获利程度。他立即行动并在以后被证实大获其利。巴菲特说：“从概率观点衡量某投资案的利弊得失，假如你最终认为获利的可能性超越损失的可能性时，你就可以小心翼翼地驾驭风险较高的投资了。”
可口可乐投资案
投资可口可乐公司又是另一个完全不同的案例。在威尔斯·富国银行的例子中，巴菲特列出了许多可能衍生的情形并赋予它们不同的概率，而可口可乐公司的例子则告诉我们，当他知道正确的概率时会如何做。在可口可乐公司案例中，巴菲特再次运用他颇为老到的投资策略，即当获利概率非常高的时候，大胆加仓，大笔投资。