在区间［a，b］内任取两点，a1，b1（设a1＜b1），求函数值f（a1）、f（b1），将有下列两种情形出现：
（1）f（a1）＜f（b1）。因已设f（x）在［a，b］上为单峰函数，因此f（x）的极小值点x倡在子区间［a，b1］内。
（2）f（a1）≥f（b1）。这时f（x）的极小值点x倡在子区间［a1，b］内。
对区间［a，b］内两点的函数值进行比较，就将原区间［a，b］缩小为［a，b1］（或［a1，b］），由于在后面的区间内已包含了一个在前面算出了的函数值，下次计算只须在新区间内计算一个点的函数值，就可以再次把区间缩小。如上节所述的黄金分割法，重复进行此过程，就可以得到一个包含极值点x倡的区间套，最终得到足够精确的近似极值解。
将缩短后的区间长度与原区间长度之比值称为缩短率。上面例子说明，要把求极值点的区间缩短，就得计算函数值，计算的函数值越多，区间缩得就越短。下面是几种常用的方法，优选法、插值法。
①分数法
②优选法（0.618法），正如上节所述的黄金分割法。
③插值法
多项式是逼近函数的一种常用工具。在寻求函数极值点的区间上，可以利用某些点的函数值来构成低次插值多项式，作为函数的近似表达式，以多项式的极值点，作为函数极值点的近似值。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，一般而言，三次多项式精确度高些，达到极值点速度快些，但是在求解导数有困难时，可用二次插值公式逼近。下面给出以三点二次插值公式求函数极值点的方法。
2.解多元函数问题的直接法
（1）步长加速法
此方法为一种坐标轮换法，依次沿着函数的等值线（或等值面）的局部主轴方向进行寻查，以达到加速收敛的目的。此种方法简单，多用于求解变量不多的问题。
（2）Powell方法
在不计算导数的求无约束极小值的方法中，Powell方法是比较有效的方法，就其方法本质而言，这是一种共轭方向法。此法收敛速度比较快，但当变量数增加时，计算量增加很多，根据经验，变量数不宜超过20个。
3.无约束极值问题的解法
（1）最速下降法
在上节已述最速下降法也是梯度法。假定函数f（X）从初始点X0出发，沿方向P＝（p1，p2，…，pn）T移动得f（x0＋p），取它的一次逼近式。
（2）牛顿法
当f（X）＝C是狭长椭圆时，其负梯度方向并不指向椭圆心。是否可以找到一个方向，此方向即使是在椭圆很扁时，也指向极小值点。牛顿法解决了这一问题。牛顿法的基本思想是：把函数f（X）在点X0附近展开成台劳级数，保留到二次项。
4.带约束条件极值问题的解法
工程中遇到的优化问题，大多是带有约束条件的，比如对时间、空间、温度、压力、强度等的限制，几乎是不可避免的。数学模型带以约束条件后，就大大增加了解题的复杂性。因对无约束优化问题已进行了广泛的研究，并获得了许多有效的计算方法，因此，应设法把有约束问题求解，也就是顺理各参数关系的事情。
非线性规划的SUMT方法，可解决工程优化中带约束条件的问题。
（1）外点法
计算步骤：
①选取ri＞0（如取r1＝1），令K＝1；
②求无约束问题的最优解，XK＝Xk，使P（Xk，rk）＝minX∈EnP（X，rk）；
③检验Xk是否满足约束，若gi（Xk）≥0（i＝1，2，…，m）成立，则Xk就是原问题的解，否则，取rk＋1＝4～5rk，令K增加1，返回到步骤②。
（2）内点法
与外点法相反，内点法是从约束集合的内点出发进行迭代，以求得最优解。
13.3冷却器优化程序总设计框架
冷却器热传递计算程序总体结构见，由以下几个子程序构成：①输入子程序；②几何结构子程序；③流体特性子程序；④表面特征子程序；⑤翅片效率子程序；⑥压降子程序；⑦校核子程序；⑧定尺寸子程序；⑨管数排列；优化子程序⑩输出子程序等。
输入子程序：该子程序用来：①输入设计问题的特定的过程数据；②把给定的单元从一个系统换化另一个系统。输入子程序结构用来证实输入数据是否在正常范围内，并在发现有不一致时给出错误信息。
几何结构子程序：对于一些经常使用的传热表面几何结构，子程序计算出其各种不同的表面结构参数，对于不常用的特殊表面，计算值通过输入子程序或终端给定。
流体结构子程序：这个子程序提供流体的特性，以特定的或通用的关联式形式给出，随同热释放/增加曲线。对于其他的一些流体特性，可以通过输入数据进行传递。方法或关联式可以组合起来以计算混合物流体的特性。
表面几何结构子程序：对于普遍使用的传热表面，相对于雷诺数变化的j和f数据可以储存在子程序中，或可以将关联式也加进去。对特殊传热表面，这些信息可以通过输入子程序或终端来传递。
翅片效率子程序：这个子程序计算不同类型扩展表面的翅片效率和总的表面效率。
压降子程序：摩擦因子f通过表面几何结构子程序输入。对于分叉歧管、封头、弯头及在歧管/封头进出口段有流通面积突变处的压降计算必须进行。
校核问题子程序：由于最初出口温度未知，所以计算时事先假定，通过对流体特性的一到二次的迭代达到收敛来求解校核问题。
定尺寸问题子程序：除了校核子程序外，上述所有子程序都是在定尺寸问题计算中用到的。定尺寸问题是首先通过对于给定的传热和压降条件下确定一个近似的质量流速G来求解的。定尺寸问题是对G反复进行迭代求解达到收敛来完成的。
管子数排列工程序：通过计算的传热所需的翅片数后，确定其长度和数量，并对管子进行有序排列。
优化子程序：在一个复杂的计算机程序中，不仅需要求解直接的校核和定尺寸问题，同时需要能结合进行优化。这个子程序从逻辑上就是对一系列切实可行的方案进行搜索以获得最佳的目标。
输出子程序：这些子程序用来打印所有所需单元的输出结果以及有关的输入数据和错误信息分析来保证其基本可靠。所有重要的输出结果必须经过验证。
（1）对于上述几点程序中必须符合逻辑，编程前必须考虑以下四点要求：
①程序必须以模块方式编写，包含一系列子程序而不是只有一个庞大的主程序。这样可以为运行程序调试和修改提供灵活性。
②程序中必须包含错误警告信息子程序，以监控输入数据和运行过程，直至问题最终完成的整个中给出大小错误及警告信息。
③一个好的子程序，必须能满足不同的特定要求。程序必须能够提供准确的和易于使用的计算结果。
（2）对于管壳式冷却器来说，大多数的子程序结构与上述所列的相同，但在内容上略有微不同，如下所述：
①几何结构子程序：这个子程序还包含壳侧的一些辅助计算以及一些几何结构设计包括壳体类型、相串联的壳体数目、相并联的壳体数目、壳体直径、管长、折流板和折流切口、各种壳侧间隙以及管数和接管等。
②计算传热和压降所需的不同壳侧校正因子。
③热效率子程序：应包括所有可能的流动分布方式，包括检验“温度交叉”现象等。
（3）“压降”指的是循环过程中不可回收的压力损失。至少有以下两个理由说明在换热器许多应用中确定压降的重要性：
①冷却器运行费用主要来自于驱动流体输送设备所需的能量消耗的费用，如泵，风机等。油泵功率PP与冷却器压降成正比的：
Pp＝MΔP/ρ（13‐30）式中 M是流体质量；ρ是流体密度。
②冷却器内的压降可以认为有两个主要组成部分：a.壳体内压降，包括传热芯体或传热芯阵；b.入口和出口封头处、歧管、接管或由于流动面积变化、流动方向改变了所导致的压降，以及给出了弯头和转弯处的压降。
③冷却器内任一侧的压降由三部分组成：入口处由于突然收缩造成的压力损失ΔP1－2，壳体内传热芯的流动压降ΔP2－3，从传热出口处由于流道突然扩展导致压力升高ΔP3－4。所以总的压降可以由下式给出：
ΔP＝ΔP1－2＋ΔP2－3－ΔP3－4（13‐31）
壳体内换热芯体的摩擦压降是主要的，大约占总压降的90%。入口和出口损失在高雷诺数、短流动长度σ及短传热芯体L时显得重要。