【情感、态度与价值观】
1.获得一定的推理能力，逐渐养成严密的思维习惯。
2.通过课内外知识的学习，在一定程度上开阔学生眼界。
四、教学准备
1.计算机：演示图形的变化过程；
2.图片。
五、教学过程设计
1.引入
前面我们一起学习了数列的有关概念。我们知道了用通项公式可以确定一个数列，那么还有没有其他的办法也能确定一个数列呢？
2.立足课本，创设情境
先让我们来看一组图形。波兰数学家谢宾斯基想要找到一个图形，当它的面积无限减小时，它的周长则无限增大。
先作一个正三角形，挖走一个“中心三角形”（即以原三角形各边中点为顶点的三角形），再在剩下的小三角形中又挖走一个“中心三角形”，然后，按照上面的规则继续……
可以发现，剩下部分的面积越来越少，而周长却不断地变大，今天我们先不来研究它的面积和周长，而是看看我们能不能数数这些三角形的个数。
3.立足情境，创设探究问题
问题一：在整个变化过程中，黑三角形的个数依次为多少？
问题二：在整个变化过程中，灰、黑三角形的总个数依次为多少？
学生对于前三个答案很快便得出了，即：1，4，13。而从第4项开始则需借助一些推导方法加以解决了。
小结：这里我们通过研究谢宾斯基三角形，学会了已知数列前几项，推导出它的递推公式；下面我们再来看看已知一个数列的递推公式，如何求出该数列的前几项呢？
4.用好课本，阅读中延伸相关知识
5.立足“阅读与理解”，渗透数学史
师：大家知道这列数的一个名称吗？
生：斐波那契数列！
师：它其实就是13世纪的意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提到的兔子数列。
下面再让我们来欣赏一些图片。
（1）自然界中花朵的花瓣数目
（2）松果的种子的螺旋排列条数
（3）自然界中植物的叶片数目和树苗的树丫每年的条数
小结：伽利略曾说过，宇宙这部大书是用数学语言写成的。如果不懂数学，人们就只能在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡。
（浙江省温州中学 李芳）
点评
如何设计一节好的数学复习课，过去往往是过多地注重数学知识结构的归纳与整理，难以调动学生学习的主动性与积极性。而“数列的递推公式”教学设计，立足高中数学新课程改革的新理念，在学生数学学习方式上作了大胆创新与尝试。作者引导学生从不同的视角去观察谢宾斯基三角形的变化，从中探究数列的递推公式和通项公式，探究梯度设计恰当，学生参与度高，真正实现了师生互动。通过几何画板动态演示，学生从谢宾斯基三角形的一系列变化中观察出了数列中项数的变化及其各种关系，数形结合的思想以及数学的本质，模式建构都得到充分体现。谢宾斯基三角形原本是教材中的一个例题，只给出前面几项，作者的教学设计作了深度挖掘，可谓源于教材，高于教材。值得指出的是，张维忠教授的《文化视野中的数学与数学教育》（人民教育出版社，2005）第257页中就讨论了谢宾斯基三角形，作者的教学设计如进一步加入数学文化或引导学生欣赏数学中的分形，可能会进一步扩大学生的数学视野，增强学生学习数学的兴趣。
二十八、证明
一、教学设计思路
本设计建立在现代教学技术的基础上，所以能充分依托多媒体的大容量，使课堂教学更加高效，当然在培养思维能力方面，多媒体的直观性并不能代替逻辑思维的严密性，在培养逻辑思维方面，特别是在知识内化方面还需要教师的板书演示，帮助学生内化。
二、前期分析
本节选自华师大版数学教材九年级（上）。本章《命题与证明》是前两年几何说理的继续，在此基础上，学习推理论证的方法，初步提出了命题与证明，进一步认识证明的必要性，学会证明，并会进行简单的逻辑推理，同时养成言之有据的思维习惯。而本节是在“命题和定理”之后，既是判定命题真假的延续，又是对学生要求的一大提升，是几何学习过程中的一个里程碑，标志着学生真正迈入几何领域，对几何由感性认识转向理性思维，这对学生而言是能力和思维的一大飞跃。本节课既是对上一节命题和定理的深入和提高，也向学生提出了明确的几何论证的要求，在培养学生的逻辑思维能力方面有举足轻重的作用。
此前，论证几何有较为严密的逻辑推理，同时要养成言必有据的习惯，这对习惯于“量一量”、“算一算”、“猜一猜”的实验几何的学生而言，还有个逐步接受的过程，最关键的因素是几何语言积累不够多，文字语言、图形语言、符号语言的互译能力较弱，故教学中应由浅入深、循序渐进，多举一些例子给学生制造一些“认知冲突”，让学生逐渐接受、逐步适应。同时，论证过程要求言必有据，这对现阶段的学生而言，过程的书写也有一定难度，这就需要教师加强示范，让学生逐渐从模仿到独立尝试，最终实现掌握的目的。
授课对象为九年级学生，本年龄段的学生在心理上正处于急剧变化阶段，他们渴望成功，最富激情；但同时，他们已具备一定的逻辑思维能力并相对能冷静思考，已不同于七年级学生，对教师一般的提问他们会选择思考而不是回答。学生已积累了一定几何语言，包括一些几何定理、定义、性质，理解了命题、定理的含义，感受了几何论证，也知道了命题是由题设和结论两部分组成的，并会对命题进行分析，这为进一步学习论证奠定了良好的基础，有利于学生对新的知识的“同化”和“顺应”。
教学重点：
理解并接受证明及对证明的必要性的认识。
教学难点：
对具体命题进行画图、写出已知求证。
三、教学目标
【知识与技能】
1.知道几何中的证明是指公理化体系下的逻辑推理证明。
2.复述什么是证明及证明的过程；描述举反例的方法。
3.叙述论证的一般过程和方法，会对简单的命题进行证明，将所学几何语言互译。
【过程与方法】
1.在已有知识和经验的基础上，通过创设的问题情境理解证明的必要性，并思考如何进行论证。
2.在证明的过程中养成言必有据的习惯。
【情感、态度与价值观】
1.认识将抽象问题具体化的思维过程（对文字命题进行证明）。
2.感受几何证明的简洁美，体验几何证明的严谨性和逻辑性，激发对论证几何的强烈兴趣。
四、教学准备
教具：戒指大小的“指环”，较长的铅丝，彩色粉笔，多媒体课件。
五、教学设计过程
（一）创设情境，引入新知
1.引入
导语：前面学习了三角形全等的识别，感到证明比较困难，本单元“命题与证明”主要是来提高大家的证明能力，上节学习了与证明相关的基础知识，包括：定义、命题、定理、公理。那什么是证明？为什么一定要证明？
又怎样证明？——这是本节课所要解决的问题。——课题2·证明奥苏贝尔认为，促进学习和防止干扰的最有效策略是利用适当相关的和包摄性较广的、最清晰和稳定的引导性材料，这就是所谓的“先行组织者策略”。学生只有把新学内容的要素与已有认知结构、特别是相关的部分联系起来，才能有意义地习得新内容。
2.问题1
（1）用一根铁丝围成一个半径为1cm的圆，再用比这根铁丝长1m 的铁丝做成一个铁丝圈，把两个圆套成同心圆，试问：在两个圆的圆环中间，能放下一个拳头吗？（让学生思考后出示教具演示）（2）如果在地球的赤道外，围一个周长比赤道长1m 的铁丝圈，将这个铁丝圈与赤道构成同心圆，试问：在这个圆环的中间还能放下一个拳头吗？
明明：当然不可以，在赤道面前，增加的1m，可以忽略不计，我估计两个圆之间可能连一根针也插不下。
晶晶：怎么可以凭估计来判定，说不定拳头还是放得下。
仲裁：那就做个圆周试一下，究竟行不行。（明明、晶晶、仲裁通过PPT 出现）
布鲁纳认为，学习的最初刺激乃是对于所学材料的兴趣。通过创设问题情境，利用贴近学生生活的问题，给学生制造强烈的“认知冲突”，激发学生探求新知的强烈愿望，本环节中必须先让学生凭直觉猜测。出示教具便于学生更为直观地接受。
（二）师生互动，探求新知
1.简要评析三个人的观点，思考究竟谁有道理。
似乎明明很有道理……但晶晶说的不对吗？仲裁者建议可取吗？那应该怎么办？解（略）。
结论：在这两个圆之间，也放得下一个拳头！直觉欺骗了我们！
2.经过上述探究活动，你发现了什么？（让学生交流讨论）原来，不管圆的半径是多少，周长每增加1米，半径总是增加1／2π米。
直觉常常不可靠，只有通过严格的推理或演算，才能验证结论的正确性。
本问题并不涉及新知，只需让学生在明白问题的情境后，教师简要地展示证明过程，关键要通过交流讨论让学生深刻地体会到光凭感觉在数学中是不行的，从而对严格论证有一定的需求感，同时利用直觉错误的强烈刺激，激发学习论证的兴趣。
3.展示平常数学学习中的一些问题
一起看课本中的问题2、3（略）。上面几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，通过这种方法得到的结论还需进一步加以证实。只有通过推理论证为正确的，才能认为是正确的。
那什么是证明？又怎样进行证明呢？
4.根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这个推理过程叫做证明。（利用板书及彩色粉笔帮助学生总结内化。）5.历史名题欣赏（利用网络查得相关内容的简要资料。）
费尔马猜想
哥德巴赫猜想（数学皇冠上的明珠）
张奠宙教授认为，数学教学要做到“上通殿堂，下达课堂”，从一些数学学习中的问题引出证明后，适当地补充一些历史名题欣赏，让学生了解一些数学史，感知当今数学发展进程，在学生知道什么是证明及证明的价值之后，通过一些史料激发学生学习论证几何的强烈欲望；同时利用名题欣赏，适当地给学生以轻松，尊重无意注意和有意注意转化的规律，让学生能在学习重要内容前有一定的修整。
6.介绍证明的方法及书写
“证明如此多娇，引天下数学家竞折腰”，要学会证明，还得从基础开始。
例1 证明：一条直线截两条平行线所得的内错角相等。
分析：根据证明的定义，证明关键在于把题设和结论进行沟通。（利用定理、定义、公理，借助逻辑推理。）
（1）分析命题的题设和结论；（2）根据题设画出图形；（3）根据图形、题设、结论，写出已知、求证。（4）证明（具体步骤略）。
（教师手写板书；投影文字语言说理，让学生比较两者的优劣；总结证明的步骤，并用彩色粉笔板书在证明过程的旁边。）
建构主义认为，学习不应该被看成是对于教师所
授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动。教师要充分利用证明的定义，帮助学生理解该如何证明，建构起“从题设出发推导出结论”的关于证明的完整体系。考虑到建构过程是一个动态的过程，教师应采用手写板书，既留足够的时间给学生内化，也避免给学生一个事先都是预设的感觉。同时，展示文字语言说理，让学生自己去比较两者优劣。
（7）假命题的判定
要判断一个命题是假命题，如何判断？例如：判定命题“锐角和钝角一定互补”的真假性，只需举一个反例即可。联系上一节课内容，加以巩固。
六、形成性评价
1.课堂练习
（1）判断“同位角相等”是真命题还是假命题，并说明理由。
（2）根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）。
①两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；②在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
学生练习，教师个别辅导，对练习结果进行评价并做相应讲授。
通过学生练习，检测学生学完本节课后的知识掌握情况，检测教师指导学生学习的方法是否有效，便于及时纠偏，安排练习（2）的目的在于提高学生的语言转化能力（将文字语言转化为图形语言和符号语言），根据本节课的实际，三种语言的互译重点将放在以后几节课，所以此处不作专门展开。
2.课堂小结，内化新知
教师提问，学生回答，相互补充。教师在对学生进行形成性评价的基础上进行概括。
（1）通过本节课的学习你知道为什么要证明吗？
（2）什么是证明？证明命题一般有哪些步骤？
（3）如何判定一个命题是假命题？
布鲁纳认为：“学习的重要问题，是形成良好的知识结构”。小结通过老师提问，学生回答小结，生生见仁见智，相互补充，力争做到教学过程设计为学生再创造的过程，培养学生数学交流的能力和归纳、总结、提炼知识的能力，使知识系统地纳入到学生的认知结构中。教师根据学生的回答进行观察，并反思教学目标三个维度的达成情况。
3.布置作业，强化新知
（1）作业本第24页3（2）证明。
（2）课本第107页7、8 两题。
（浙江省上虞市金清扬中学 李福军）