书城教材教辅必懂的数学知识
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第36章 虚数

“虚数”这个名词,听起来好像“虚”,实际上却非常“实”。

虚数是在解方程时产生的。求解方程时,常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数,可以算出要求的根;如果是负数怎么办呢?

譬如,方程x2 1=0,则x2=-1,x=±-1.那么-1有没有意义呢?在很久之前,大多数数学家认为负数没有平方根。到了16世纪中叶,意大利数学家卡尔丹发表了《大法》这一数学著作,介绍了三次方程的求根公式。他不仅讨论了正根和负根,还讨论了虚数根。如解x3-15x 4=0这一方程时,依据他的求根公式,会得到:

x=-2 -121其中-121就是负数的平方根。卡尔丹写出了负数的平方根,但他认为这也仅仅是形式表式表示而已。说明他对负数平方根的性质并不了解。1637年,法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年,瑞士数学家欧拉开始用符号i=-1表示虚数的单位。而后人将实和虚数结合起来,写成a bi形式(a、b为实数),称为复数。

由于虚数闯进数学领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量,因此,在很长一段时间里,人们对虚数产生了种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的;莱布尼兹在公元18世纪初则认为:“虚数是美妙而奇异的神秘隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物”。欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说一切形如-1、-2的数学式都是不可能有的,纯属虚幻的。

欧拉之后,挪威一个测量学家维塞尔,提出把复数a bi用平面上的点(a,b)来表示。后来,高斯提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路。现在,复数一般用来表示向量(有方向的数量),这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容,真是:虚数不虚!